Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensāo. Matrizes escalares n times n

Passo 1

O enunciado pede para analisar o conjunto
S = lambda In mid lambda in R
onde In é a matriz identidade ntimes n, usando as operações usuais de soma e multiplicação escalar em R^ntimes n. Precisamos verificar se S é subespaço de R^ntimes n e, em caso afirmativo, encontrar uma base e a dimensão. Vamos usar o critério de subespaço: checar presença do zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que a matriz nula 0n pertence a S pois basta escolher lambda=0:
0n = 0cdot In in S

Passo 3

Fechamento em soma: sejam A=lambda In e B=mu In em S. Então
A+B = lambda In + mu In = (lambda + mu),In,
e lambda+muinR, logo A+Bin S.

Passo 4

Fechamento em multiplicação escalar: dado A=lambda Inin S e alphainR,
alpha A = alpha(lambda In) = (alphalambda),In,
e alphalambdainR, portanto alpha Ain S.

Passo 5

Como o zero está em S e S é fechado em soma e escalar, concluímos que S é um subespaço real de R^ntimes n.

Passo 6

Para encontrar uma base, note que toda matriz em S é da forma lambda In. Logo basta o vetor (matriz) In para gerar S:
S = lambda In mid lambdainR = spanIn
Assim, uma base de S é In.

Resposta

Uma base é In e dim(S)=1.

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