Verifique se os conjuntos abaixo são espaço vetoriais reais, com as operações usuais. No caso afirmativo, exiba uma base e dê a dimensāo. Matrizes escalares
Passo 1
O enunciado pede para analisar o conjunto
onde
é a matriz identidade
, usando as operações usuais de soma e multiplicação escalar em
. Precisamos verificar se
é subespaço de
e, em caso afirmativo, encontrar uma base e a dimensão. Vamos usar o critério de subespaço: checar presença do zero, fechamento em soma e fechamento em multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que a matriz nula
pertence a
pois basta escolher
:
Passo 3
Fechamento em soma: sejam
e
em
. Então
e
, logo
.
Passo 4
Fechamento em multiplicação escalar: dado
e
,
e
, portanto
.
Passo 5
Como o zero está em
e
é fechado em soma e escalar, concluímos que
é um subespaço real de
.
Passo 6
Para encontrar uma base, note que toda matriz em
é da forma
. Logo basta o vetor (matriz)
para gerar
:
Assim, uma base de
é
.
Resposta
Uma base é
e
.