Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso aformativo determine e matriz diagonal correspondente.
(b) T: R^2 R^2 dado por T(x, y)=(4 x+4 y, 3 x+y).

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o operador linear
TcolonR^2toR^2, T(x,y)=(4x+4y,,3x+y)
é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal que representa T em uma base de autovetores. O conteúdo aqui é diagonalização via autovalores e autovetores.

Passo 2

Vamos escrever a matriz de T na base canônica e1,e2. Temos
A= 4 & 4 3 & 1

Passo 3

Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
chiA(lambda)=det(A-lambda I) =det 4-lambda & 4 3 & 1-lambda =(4-lambda)(1-lambda)-12
Expandindo obtemos
chiA(lambda) =(4-lambda)(1-lambda)-12 =lambda^2-5lambda-8
As raízes dessa equação quadrática são
lambda1,2 =5pmraiz25+322 =5pmraiz572

Passo 4

Como os dois autovalores lambda1=(5+raiz57)/2 e lambda2=(5-raiz57)/2 são distintos, a multiplicidade geométrica de cada um é 1 e a soma dá 2. Logo A (e portanto T) é diagonalizável.

Passo 5

Em uma base formada pelos autovetores associados a lambda1 e lambda2, a matriz de T fica
D= 5+raiz572 & 0 0 & 5-raiz572

Resposta

T é diagonalizável e a matriz diagonal correspondente é
5+raiz572 & 0 [6pt] 0 & 5-raiz572 .]

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