Verifique de os seguintes operadores lineares são diagonalizáveis e em caso aformativo determine e matriz diagonal correspondente.
(b) dado por .
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o operador linear
é diagonalizável e, em caso afirmativo, exibir a matriz diagonal que representa em uma base de autovetores. O conteúdo aqui é diagonalização via autovalores e autovetores.
Passo 2
Vamos escrever a matriz de na base canônica . Temos
Passo 3
Para achar os autovalores calculamos o polinômio característico
Como os dois autovalores lambda1=(5+raiz57)/2 e lambda2=(5-raiz57)/2 são distintos, a multiplicidade geométrica de cada um é 1 e a soma dá 2. Logo A (e portanto T) é diagonalizável.
Passo 5
Em uma base formada pelos autovetores associados a lambda1 e lambda2, a matriz de T fica
D= 5+raiz572 & 0 0 & 5-raiz572
Resposta
T é diagonalizável e a matriz diagonal correspondente é