Mostre que
, para todo par de vetores
e
é um produto interno em
. E verifique se
e
são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
(b)
e
.
(b)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
em
satisfaz os axiomas de produto interno (linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida). Em seguida, no caso (b), devemos verificar se os vetores
e
são ortogonais, ou seja, se
.
Passo 2
Verificamos a linearidade e a simetria:
- Linearidade no primeiro argumento: dados
, , e escalar ,
- Simetria:
Passo 3
Verificamos a positividade definida:
Esse valor é sempre
, e igual a zero apenas se
e
, ou seja,
. Logo é positivo definido.
Passo 4
Concluímos que
é de fato um produto interno em
. Agora, para o caso (b), tomamos
e
e calculamos
Passo 5
Como
, os vetores
e
são ortogonais em relação a este produto interno.
Resposta
A aplicação
satisfaz todos os axiomas de produto interno em
.
No caso (b), para e
, temos
, logo
e
são ortogonais.
No caso (b), para