Mostre que <u, v>=x1 y1+2 x2 y2, para todo par de vetores u=(x1, x2) e v=(y1, y2) é um produto interno em R^2. E verifique se u e v são ortogonais, em relação a este produto interno, nos seguintes casos:
(b) u=(2,1) e v=(-1,1).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
lang<= u,vrang<= = x1y1 + 2,x2y2
em R^2 satisfaz os axiomas de produto interno (linearidade em cada argumento, simetria e positividade definida). Em seguida, no caso (b), devemos verificar se os vetores u=(2,1) e v=(-1,1) são ortogonais, ou seja, se lang<= u,vrang<==0.

Passo 2

Verificamos a linearidade e a simetria:
  1. Linearidade no primeiro argumento: dados u=(x1,x2), u'=(x'1,x'2), v=(y1,y2) e escalar c,
lang<= u+u',vrang<= = (x1+x'1)y1+2,(x2+x'2)y2 = x1y1+2x2y2 ;+; x'1y1+2x'2y2 = lang<= u,vrang<= + lang<= u',vrang<=,
lang<= c,u,vrang<= = (c,x1)y1 + 2,(c,x2)y2 = c,(x1y1+2x2y2) = c,lang<= u,vrang<=
  1. Simetria:
lang<= u,vrang<= = x1y1+2x2y2 = y1x1+2y2x2 = lang<= v,urang<=

Passo 3

Verificamos a positividade definida:
lang<= u,urang<= = x1^2 + 2,x2^2
Esse valor é sempre >=0, e igual a zero apenas se x1=0 e x2=0, ou seja, u=0. Logo é positivo definido.

Passo 4

Concluímos que lang<=cdot,cdotrang<= é de fato um produto interno em R^2. Agora, para o caso (b), tomamos
u=(2,1) e v=(-1,1) e calculamos
lang<= u,vrang<= = 2cdot(-1) + 2cdot1cdot1 = -2 + 2 = 0

Passo 5

Como lang<= u,vrang<==0, os vetores u e v são ortogonais em relação a este produto interno.

Resposta

A aplicação lang<= u,vrang<= = x1y1 + 2,x2y2 satisfaz todos os axiomas de produto interno em R^2.
No caso (b), para u=(2,1) e v=(-1,1), temos lang<= u,vrang<==0, logo u e v são ortogonais.

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