Seja T: R^3 R^3 a transformação linear tal que
& T(1,0,0)=(1,0,0) & T(0,1,0)=(0,0,1) & T(0,0,1)=(2,0,0)
Determine T(alpha) se alpha=(1,3,2).

Passo 1

O enunciado nos dá uma transformação linear TcolonR^3toR^3 e fornece as imagens dos vetores da base canônica:
T(1,0,0) = (1,0,0), T(0,1,0) = (0,0,1), T(0,0,1) = (2,0,0)
Queremos calcular T(alpha) para alpha = (1,3,2). O conteúdo aqui é usar a linearidade de T e decompor alpha na base canônica.

Passo 2

Denotando
e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1),
escrevemos alpha como combinação linear:
alpha = 1cdot e1 + 3cdot e2 + 2cdot e3

Passo 3

Pela linearidade de T, temos
T(alpha) = Tl(1 e1 + 3 e2 + 2 e3r) = 1,T(e1) + 3,T(e2) + 2,T(e3)
Substituindo as imagens conhecidas:
T(alpha) = 1,(1,0,0) + 3,(0,0,1) + 2,(2,0,0)

Passo 4

Basta somar componente a componente:
1,(1,0,0) = (1,0,0), 3,(0,0,1) = (0,0,3), 2,(2,0,0) = (4,0,0),
então
T(alpha) = (1,0,0) + (0,0,3) + (4,0,0) = (5,0,3)

Resposta

T(1,3,2) = (5,0,3)

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