Seja T: P2(R) P2(R) um operador linear tal que
T(p0(t))=1-t, T(p1(t))=1+t^2, T(p2(t))=1+t-2 t^2
onde pi(t)=t^i, i=0,1,2.
a) Encontre T(p), para qualquer p in P2(R).
b) T é injetora? T é sobrejetora? T é bijetora? Justifique suas respostas.

Passo 1

O enunciado define o operador linear
T: P2( R)to P2( R)
pelos valores em
,p0(t)=1, p1(t)=t, p2(t)=t^2.
Precisamos usar a base 1,t,t^2 e a propriedade de linearidade para (a) obter a fórmula de T(p) em termos dos coeficientes de
,p(t)=a+bt+ct^2, e (b) estudar injetividade, sobrejetividade e bijetividade via núcleo e dimensões.

Passo 2

Se p(t)=a+bt+ct^2, então por linearidade
T(p)=a,T(1)+b,T(t)+c,T(t^2) =a(1-t)+b(1+t^2)+c(1+t-2t^2)
Reagrupando termos em 1,t,t^2, obtemos
T(p)(t)=(a+b+c)+(-a+c),t+(b-2c),t^2

Passo 3

Para ver injetividade, consideramos
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
logo . Assim o único com é o polinômio nulo, ou seja, o núcleo é trivial e é injetora.

Passo 4

Como dim P2( R)=3 no domínio e no contradomínio, a injetividade implica sobrejetividade.
Alternativamente, dado um polinômio arbitrário
,q(t)=d+e,t+f,t^2, basta resolver o mesmo sistema acima com d,e,f nos termos de a,b,c, obtendo solução única, e assim T atinge todo P2( R).

Passo 5

Sendo T simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que T é bijetora.

Resposta

a) Se p(t)=a+bt+ct^2, então
T(p)(t)=(a+b+c)+(-a+c),t+(b-2c),t^2
b) T é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.

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