Seja
um operador linear tal que
onde
.
a) Encontre
, para qualquer
.
b)
é injetora?
é sobrejetora?
é bijetora? Justifique suas respostas.
a) Encontre
b)
Passo 1
O enunciado define o operador linear
pelos valores em
,
,
.
Precisamos usar a base e a propriedade de linearidade para (a) obter a fórmula de
em termos dos coeficientes de
, e (b) estudar injetividade, sobrejetividade e bijetividade via núcleo e dimensões.
pelos valores em
Precisamos usar a base
Passo 2
Se
, então por linearidade
Reagrupando termos em
, obtemos
Passo 3
Para ver injetividade, consideramos
Da segunda equação vem . Substituindo na primeira:
logo
. Assim o único
com
é o polinômio nulo, ou seja, o núcleo é trivial e
é injetora.
Passo 4
Como
no domínio e no contradomínio, a injetividade implica sobrejetividade.
Alternativamente, dado um polinômio arbitrário
, basta resolver o mesmo sistema acima com
nos termos de
, obtendo solução única, e assim
atinge todo
.
Alternativamente, dado um polinômio arbitrário
Passo 5
Sendo
simultaneamente injetora e sobrejetora, concluímos que
é bijetora.
Resposta
a) Se
, então
b)
é injetora, sobrejetora e, portanto, bijetora.