Seja
o espaço vetorial das funções reais de uma variável real
. Se
é o sespaço gerado pelas funções
e
, responda se é verdade que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial
que é composto por todas as funções reais de uma variável real
. Dentro desse espaço, temos um subespaço
gerado pelas funções
e
. A pergunta é: será que a função
está nesse subespaço
?
Para resolver isso, vamos precisar entender espaços vetoriais, subespaços e combinações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de objetos (neste caso, funções) que podem ser somados e multiplicados por escalares (números reais) e que obedecem a certas regras, como associatividade e existência de elemento neutro.
Passo 3
Um subespaço
de
é um conjunto dentro de
que também é um espaço vetorial. Aqui,
é gerado pelas funções
e
, ou seja, todas as combinações lineares dessas duas funções pertencem a
.
Passo 4
Uma combinação linear de
e
tem a forma:
onde
e
são números reais.
Passo 5
A pergunta quer saber se
pode ser escrita como uma combinação linear de
e
. Ou seja, existe
e
tais que:
Passo 6
Sabemos pela fórmula trigonométrica que:
Isso significa que
é igual a duas vezes o produto de
e
.
Passo 7
Agora, vamos analisar se essa expressão pode ser escrita como
. Perceba que na fórmula da combinação linear, temos uma soma de termos, enquanto na expressão de
, temos um produto de funções.
Passo 8
Como não podemos escrever o produto
como uma soma simples de
e
, não existe valores de
e
que satisfaçam a equação:
Portanto,
não está no subespaço
.
Resposta
Não,
não pertence ao subespaço
.