Seja V o espaço vetorial das funções reais de uma variável real f:R R . Se W subset V é o sespaço gerado pelas funções sen(x) e cos(x), responda se é verdade que sen(2x) in W?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um espaço vetorial V que é composto por todas as funções reais de uma variável real f: R R . Dentro desse espaço, temos um subespaço W gerado pelas funções sen(x) e cos(x) . A pergunta é: será que a função sen(2x) está nesse subespaço W ?
Para resolver isso, vamos precisar entender espaços vetoriais, subespaços e combinações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um espaço vetorial. É um conjunto de objetos (neste caso, funções) que podem ser somados e multiplicados por escalares (números reais) e que obedecem a certas regras, como associatividade e existência de elemento neutro.

Passo 3

Um subespaço W de V é um conjunto dentro de V que também é um espaço vetorial. Aqui, W é gerado pelas funções sen(x) e cos(x) , ou seja, todas as combinações lineares dessas duas funções pertencem a W .

Passo 4

Uma combinação linear de sen(x) e cos(x) tem a forma:
a cdot sen(x) + b cdot cos(x)
onde a e b são números reais.

Passo 5

A pergunta quer saber se sen(2x) pode ser escrita como uma combinação linear de sen(x) e cos(x) . Ou seja, existe a e b tais que:
sen(2x) = a cdot sen(x) + b cdot cos(x)

Passo 6

Sabemos pela fórmula trigonométrica que:
sen(2x) = 2 cdot sen(x) cdot cos(x)
Isso significa que sen(2x) é igual a duas vezes o produto de sen(x) e cos(x) .

Passo 7

Agora, vamos analisar se essa expressão pode ser escrita como a cdot sen(x) + b cdot cos(x) . Perceba que na fórmula da combinação linear, temos uma soma de termos, enquanto na expressão de sen(2x) , temos um produto de funções.

Passo 8

Como não podemos escrever o produto sen(x) cdot cos(x) como uma soma simples de sen(x) e cos(x) , não existe valores de a e b que satisfaçam a equação:
sen(2x) = a cdot sen(x) + b cdot cos(x)
Portanto, sen(2x) não está no subespaço W .

Resposta

Não, sen(2x) não pertence ao subespaço W .

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