Mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a interseção
coincide com o intervalo fechado . Aqui vamos usar conceitos de teoria de conjuntos (inclusões de conjuntos) e noções de limite de sequência.
coincide com o intervalo fechado
Passo 2
Provar
.
Seja um elemento da interseção, então para todo
vale
Seja
Como a sequência
converge para
, temos
De modo análogo,
converge para
, logo
Portanto
.
Passo 3
Provar
.
Seja . Então
. Para cada
temos
Seja
logo
. Como isso vale para todo
, concluímos que
pertence a cada intervalo
, e portanto está na interseção.