Mostre que
\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(-2-\frac{1}{n}, 2+\frac{1}{n}\right)=[-2,2].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a interseção \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigl(-2-\tfrac{1}{n},\,2+\tfrac{1}{n}\bigr)
coincide com o intervalo fechado [-2,2]. Aqui vamos usar conceitos de teoria de conjuntos (inclusões de conjuntos) e noções de limite de sequência.

Passo 2

Provar \displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}\bigl(-2-\tfrac{1}{n},\,2+\tfrac{1}{n}\bigr)\subseteq[-2,2].
Seja x um elemento da interseção, então para todo n vale
-2-\tfrac{1}{n}<x<2+\tfrac{1}{n}.
Como a sequência \bigl(-2-\tfrac{1}{n}\bigr)_{n} converge para -2, temos
x\ge\lim_{n\to\infty}\Bigl(-2-\tfrac{1}{n}\Bigr)=-2.
De modo análogo, \bigl(2+\tfrac{1}{n}\bigr)_{n} converge para 2, logo
x\le\lim_{n\to\infty}\Bigl(2+\tfrac{1}{n}\Bigr)=2.
Portanto x\in[-2,2].

Passo 3

Provar \displaystyle[-2,2]\subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigl(-2-\tfrac{1}{n},\,2+\tfrac{1}{n}\bigr).
Seja x\in[-2,2]. Então -2\le x\le2. Para cada n temos
-2-\tfrac{1}{n}< -2 \le x \quad\text{e}\quad x \le 2 < 2+\tfrac{1}{n},
logo -2-\tfrac{1}{n}<x<2+\tfrac{1}{n}. Como isso vale para todo n, concluímos que x pertence a cada intervalo \bigl(-2-\tfrac{1}{n},\,2+\tfrac{1}{n}\bigr), e portanto está na interseção.

Resposta

\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigl(-2-\tfrac{1}{n},\,2+\tfrac{1}{n}\bigr)=[-2,2].

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