Prove que dada f: X \rightarrow \mathbb{R} limitada, sejam m=\inf f, M=\sup f e w=M-m. Então w=\sup \{|f(x)-f(y)| ; x, y \in X\}.

Passo 1

O enunciado diz que f\colon X\to\mathbb{R} é limitada. Definimos
m = \inf f,\quad M = \sup f,\quad w = M - m.
Queremos mostrar que
w \;=\;\sup\bigl\{\lvert f(x)-f(y)\rvert \;:\; x,y\in X\bigr\}.

Passo 2

Mostramos primeiro que para todos x,y\in X vale
\lvert f(x)-f(y)\rvert \;\le\; M - m = w.
De fato, como f(x)\le M e f(y)\ge m, segue f(x)-f(y)\le M-m. Trocar x com y f(y)-f(x)\le M-m. Então
\lvert f(x)-f(y)\rvert \le M-m = w,
o que implica
\sup_{x,y\in X}\lvert f(x)-f(y)\rvert \;\le\; w.

Passo 3

Agora mostramos que a supremum dos módulos atinge pelo menos w. Seja \varepsilon>0.
Como M=\sup f, existe x_0\in X tal que
f(x_0) > M - \tfrac{\varepsilon}{2}.
Como m=\inf f, existe y_0\in X tal que
f(y_0) < m + \tfrac{\varepsilon}{2}.
Então
f(x_0)-f(y_0) \;>\; \bigl(M - \tfrac{\varepsilon}{2}\bigr) - \bigl(m + \tfrac{\varepsilon}{2}\bigr) = M - m - \varepsilon = w - \varepsilon.
Logo
\lvert f(x_0)-f(y_0)\rvert \;>\; w - \varepsilon,
e isso mostra que
\sup_{x,y\in X}\lvert f(x)-f(y)\rvert \;\ge\; w.

Passo 4

Juntando os dois resultados temos
\sup_{x,y\in X}\lvert f(x)-f(y)\rvert \;=\; w.

Resposta

w \;=\;\sup\bigl\{\lvert f(x)-f(y)\rvert : x,y\in X\bigr\}.

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