Prove que:
\inf \left\{1+\frac{1}{n} ; n \in \mathbb{N}\right\}=1;

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o conjunto
A = \bigl\{\,1 + \tfrac{1}{n} : n \in \mathbb{N}\bigr\}
e queremos provar que
\inf A = 1.
Conteúdo envolvido: definição de limite inferior (lower bound) e de ínfimo (greatest lower bound), e uso do princípio arquimediano para produzir aproximações arbitrárias.

Passo 2

Mostramos que 1 é uma cota inferior de A.
Para todo n \in \mathbb{N}, tem-se
1 + \tfrac{1}{n} \ge 1,
pois \tfrac{1}{n}>0. Logo,
\forall x\in A,\;x\ge1,
ou seja, 1 é um lower bound de A.

Passo 3

Mostramos que não existe cota inferior maior que 1. Seja \alpha>1. Defina
\varepsilon = \alpha - 1 > 0.
Pelo princípio arquimediano, existe N\in\mathbb{N} tal que
\tfrac{1}{N} < \varepsilon.
Então
1 + \tfrac{1}{N} < 1 + \varepsilon = \alpha,
isto é, 1+\tfrac1N\in A é menor que \alpha. Portanto \alpha não é cota inferior de A. Conclui-se que não há lower bound maior que 1.

Resposta

\inf\bigl\{1+\tfrac1n : n\in\mathbb{N}\bigr\} = 1.

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