Prove que:
;
Passo 1
Resumo do enunciado: temos o conjunto
e queremos provar que
Conteúdo envolvido: definição de limite inferior (lower bound) e de ínfimo (greatest lower bound), e uso do princípio arquimediano para produzir aproximações arbitrárias.
Passo 2
Mostramos que
é uma cota inferior de
.
Para todo , tem-se
Para todo
pois
. Logo,
ou seja,
é um lower bound de
.
Passo 3
Mostramos que não existe cota inferior maior que
. Seja
. Defina
Pelo princípio arquimediano, existe
tal que
Então
isto é,
é menor que
. Portanto
não é cota inferior de
. Conclui-se que não há lower bound maior que
.