Mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a união crescente dos intervalos
é exatamente o intervalo aberto
. O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos em
, em particular uniões infinitas e propriedades de intervalos.
Passo 2
Mostramos primeiro que
Se
, então existe algum
tal que
Como
, segue
, logo
.
Passo 3
Agora mostramos
Se
, então
e
. Seja
Para esse
temos
Reescrevendo,
ou seja
. Assim
.
Passo 4
Como temos ambas as inclusões, concluímos