Mostre que
\bigcup_{n=1}^{\infty}\left[-2+\frac{1}{n}, 2-\frac{1}{n}\right]=(-2,2);

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a união crescente dos intervalos
A_n = \Bigl[-2+\frac{1}{n},\,2-\frac{1}{n}\Bigr],\quad n=1,2,3,\dots
é exatamente o intervalo aberto (-2,2). O conteúdo envolvido é teoria de conjuntos em \mathbb{R}, em particular uniões infinitas e propriedades de intervalos.

Passo 2

Mostramos primeiro que
\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n \;\subseteq\;(-2,2).
Se x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n, então existe algum n tal que
x\in A_n \quad\Longrightarrow\quad -2+\frac{1}{n}\le x\le 2-\frac{1}{n}.
Como \frac1n>0, segue -2<x<2, logo x\in(-2,2).

Passo 3

Agora mostramos
(-2,2)\;\subseteq\;\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n.
Se x\in(-2,2), então d_1 = x-(-2)=x+2>0 e d_2=2-x>0. Seja
N > \max\Bigl(\tfrac{1}{d_1},\,\tfrac{1}{d_2}\Bigr).
Para esse N temos
\frac1N < d_1 = x+2 \quad\text{e}\quad \frac1N < d_2 = 2-x.
Reescrevendo,
-2+\frac1N < x \quad\text{e}\quad x < 2-\frac1N,
ou seja x\in A_N. Assim x\in\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n.

Passo 4

Como temos ambas as inclusões, concluímos
\bigcup_{n=1}^{\infty}\Bigl[-2+\tfrac1n,\,2-\tfrac1n\Bigr] = (-2,2).

Resposta

(-2,2)

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