Prove que dada
limitada, sejam
,
e
. Então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é limitada. Definimos
Queremos mostrar que
Passo 2
Mostramos primeiro que para todos
vale
De fato, como
e
, segue
. Trocar
com
dá
. Então
o que implica
Passo 3
Agora mostramos que a supremum dos módulos atinge pelo menos
. Seja
.
Como , existe
tal que
Como
Como
, existe
tal que
Então
Logo
e isso mostra que
Passo 4
Juntando os dois resultados temos