Prove que:
\min \{x, y\}=\frac{x+y-|x-y|}{2};

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para quaisquer números reais x e y, vale a igualdade
\min\{x,y\} \;=\;\frac{x + y - \lvert x - y\rvert}{2}.
Usaremos a definição de \min em termos de comparação e a definição de valor absoluto como função peça-a-peça.

Passo 2

Considere o caso x \le y.
Nesse caso, por definição
\min\{x,y\} = x \quad\text{e}\quad \lvert x - y\rvert = y - x.
Substituindo em \tfrac{x + y - \lvert x - y\rvert}{2}, temos
\frac{x + y - (y - x)}{2} =\frac{x + y - y + x}{2} =\frac{2x}{2} = x,
que é exatamente \min\{x,y\} nesse caso.

Passo 3

Agora considere o caso x \ge y.
Então
\min\{x,y\} = y \quad\text{e}\quad \lvert x - y\rvert = x - y.
Logo,
\frac{x + y - \lvert x - y\rvert}{2} =\frac{x + y - (x - y)}{2} =\frac{x + y - x + y}{2} =\frac{2y}{2} = y,
que novamente coincide com \min\{x,y\}.

Resposta

Pelo princípio de partição em casos, mostramos que
\min\{x,y\} =\frac{x+y-\lvert x-y\rvert}{2}
para todo par (x,y) de números reais.

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