Mostre que as bissetrizes internas de um triângulo se interceptam num mesmo ponto, que é o baricentro dos vétrices com massas iguais aos comprimentos dos lados opostos a eles.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em qualquer triângulo
, as três bissetrizes internas dos ângulos se encontram num ponto único, e que esse ponto é exatamente o baricentro do sistema de três massas colocadas em
com valores iguais aos comprimentos
,
e
. Para isso vamos usar o Teorema da Bissetriz Interna e o método de pontos de massa (mass points).
Passo 2
Pelo Teorema da Bissetriz Interna, a bissetriz do ângulo
corta o lado
em um ponto
tal que
Analogamente, a bissetriz de
encontra
em
com
e a bissetriz de
encontra
em
com
Passo 3
Agora aplicamos pontos de massa: colocamos em
a massa
em
a massa
e em
a massa
Pela teoria de massas, o ponto
em
que satisfaz
é precisamente o centro de massa de
e
. Concluímos então que a reta que une
a esse centro de massa
é a bissetriz interna de
. Mesma argumentação mostra que
é centro de massa de
e
, e que
é centro de massa de
e
.
Passo 4
O baricentro
do sistema de três partículas de massas
fica sobre a reta que une qualquer vértice ao centro de massa dos outros dois. Em particular,
Isso porque, por construção de massa total
, o ponto
divide cada ceviana do vértice
ao centro de massa dos outros dois em razão
e análogos para as outras duas.
Passo 5
Como
pertence simultaneamente a
,
e
, concluímos que as três bissetrizes internas concorrem em
. E por construção
é exatamente o baricentro do triângulo com massas
em
.
Resposta
As bissetrizes internas do triângulo
são concorrentes e o ponto de interseção é o baricentro dos vértices
quando a cada um se atribui massa igual ao comprimento do lado oposto (
,
,
).