Mostre que as bissetrizes internas de um triângulo se interceptam num mesmo ponto, que é o baricentro dos vétrices com massas iguais aos comprimentos dos lados opostos a eles.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em qualquer triângulo ABC, as três bissetrizes internas dos ângulos se encontram num ponto único, e que esse ponto é exatamente o baricentro do sistema de três massas colocadas em A,B,C com valores iguais aos comprimentos a=BC, b=CA e c=AB. Para isso vamos usar o Teorema da Bissetriz Interna e o método de pontos de massa (mass points).

Passo 2

Pelo Teorema da Bissetriz Interna, a bissetriz do ângulo ang<= A corta o lado BC em um ponto D tal que
BDDC ;=;ABAC ;=;cb
Analogamente, a bissetriz de ang<= B encontra AC em E com
CEEA ;=;BCBA ;=;ac,
e a bissetriz de ang<= C encontra AB em F com
AFFB ;=;ACCB ;=;ba

Passo 3

Agora aplicamos pontos de massa: colocamos em A a massa
mA = a = BC,
em B a massa
mB = b = CA,
e em C a massa
mC = c = AB
Pela teoria de massas, o ponto D em BC que satisfaz
BDDC = mCmB = cb
é precisamente o centro de massa de B e C. Concluímos então que a reta que une A a esse centro de massa D é a bissetriz interna de ang<= A. Mesma argumentação mostra que E é centro de massa de C e A, e que F é centro de massa de A e B.

Passo 4

O baricentro G do sistema de três partículas de massas mA,mB,mC fica sobre a reta que une qualquer vértice ao centro de massa dos outros dois. Em particular,
Gin AD, Gin BE, Gin CF
Isso porque, por construção de massa total mA+mB+mC, o ponto G divide cada ceviana do vértice X ao centro de massa dos outros dois em razão
XGG,D,dos outros dois =mB+mCmA,
e análogos para as outras duas.

Passo 5

Como G pertence simultaneamente a AD, BE e CF, concluímos que as três bissetrizes internas concorrem em G. E por construção G é exatamente o baricentro do triângulo com massas a,b,c em A,B,C.

Resposta

As bissetrizes internas do triângulo ABC são concorrentes e o ponto de interseção é o baricentro dos vértices A,B,C quando a cada um se atribui massa igual ao comprimento do lado oposto ( mA=BC, mB=CA, mC=AB).

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