Mostre que Cp=C1+T V a^2kappaT onde : Cv=T(partial Spartial T)V (calor especifico a volume constante); CP=T(partial Spartial T)P (calor especifico a pressão constante); alpha=1V(partial Vpartial T)P (expansão térmica);
kappaT=-1V(partial Vpartial P)T (compressibilidade isotérmica).
Sugestão : use o fato de que d S=(partial Spartial T)V d T+(partial Spartial V)T d V.

Passo 1

Tranquilo! O exercício quer que a gente mostre que
CP=CV+T,V,alpha^2kappaT,
Isso faz parte de termodinâmica: calor específico a volume e a pressão constantes, coeficiente de expansão térmica alpha e compressibilidade isotérmica kappaT.
Para isso, vamos usar o diferencial de entropia
dS=l(partial Spartial Tr)VdT+l(partial Spartial Vr)TdV
as definições de CV,CP,alpha,kappaT e uma relação de Maxwell.

Passo 2

Queremos achar (partial S/partial T)P, porque
CP=Tl(partial Spartial Tr)P,
Na condição de pressão constante ( dP=0), a variação de volume é
dV=l(partial Vpartial Tr)PdT,
Substituindo em dS, para P constante:
dS=l(partial Spartial Tr)VdT+l(partial Spartial Vr)Tl(partial Vpartial Tr)PdT,
Logo,
$$\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P}
=\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V}
+\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr){T}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr){P},. l(partial Spartial Tr)P =l(partial Spartial Tr)V +l(partial Spartial Vr)Tl(partial Vpartial Tr)P, C_{P}
=T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr){P}
=T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)
{V}
+T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr){T}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr){P},. TáC_{P}=C_{V}
+T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr){T}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr){P},. $$

Passo 3

Para avançar, precisamos expressar (partial S/partial V)T. Da termodinâmica, uma das relações de Maxwell vem do potencial livre de Helmholtz F=U-TS, cujo diferencial é
dF=-S,dT-P,dV
Dessa forma
$$\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T}
=\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr){V},. l(partial Spartial Vr)T =l(partial Ppartial Tr)V, ãóC{P}
=C_{V}
+T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P},. $$

Passo 4

Agora usamos as definições:
alpha=1Vl(partial Vpartial Tr)P Longrightarrow l(partial Vpartial Tr)P=V,alpha,
kappaT=-1Vl(partial Vpartial Pr)T Longrightarrow l(partial Ppartial Vr)T=-1V,kappaT,
Usando a regra cíclica de derivadas, ou simplesmente combinando essas duas, obtemos
$$\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}
=\frac{\alpha}{\kappa_{T}},. l(partial Ppartial Tr)V =alphakappaT, C_{P}
=C_{V}
+T;\frac{\alpha}{\kappa_{T}};(V,\alpha)
=C_{V}
+T,\frac{V,\alpha^{2}}{\kappa_{T}},. $$

Resposta

Portanto mostramos que
boxedCP=CV+T,V,alpha^2kappaT,

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