Mostre que
onde :
(calor especifico a volume constante);
(calor especifico a pressão constante);
(expansão térmica);
(compressibilidade isotérmica).
Sugestão : use o fato de que
.
Sugestão : use o fato de que
Passo 1
Tranquilo! O exercício quer que a gente mostre que
Isso faz parte de termodinâmica: calor específico a volume e a pressão constantes, coeficiente de expansão térmica
Para isso, vamos usar o diferencial de entropia
as definições de
e uma relação de Maxwell.
Passo 2
Queremos achar
, porque
Na condição de pressão constante (
Substituindo em
, para
constante:
Logo,
$$\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{P}
=\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr)_{V}
+\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr){T}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr){P},.
C_{P}
=T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr){P}
=T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr){V}
=T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial T}\Bigr){V}
+T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr){T}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr){P},.
C_{P}=C_{V}
+T\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr){T}\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr){P},. $$
Passo 3
Para avançar, precisamos expressar
. Da termodinâmica, uma das relações de Maxwell vem do potencial livre de Helmholtz
, cujo diferencial é
Dessa forma
$$\Bigl(\frac{\partial S}{\partial V}\Bigr)_{T}
=\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr){V},.
C{P}
=C_{V}
+T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}
+T\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}
\Bigl(\frac{\partial V}{\partial T}\Bigr)_{P},. $$
Passo 4
Agora usamos as definições:
Usando a regra cíclica de derivadas, ou simplesmente combinando essas duas, obtemos
$$\Bigl(\frac{\partial P}{\partial T}\Bigr)_{V}
=\frac{\alpha}{\kappa_{T}},.
C_{P}
=C_{V}
+T;\frac{\alpha}{\kappa_{T}};(V,\alpha)
=C_{V}
+T;\frac{\alpha}{\kappa_{T}};(V,\alpha)
=C_{V}
+T,\frac{V,\alpha^{2}}{\kappa_{T}},. $$
Resposta
Portanto mostramos que