Verifique que a função f, dada por f(x)=x^3-2 x-8 satisfaz, no intervalo [ -2,2 ], as duas condições do Teorema do Valor Médio. A seguir, encontre um valor conveniente para c que satisfaça a conclusão do referido Teorema.

Passo 1

O enunciado pede para verificar que a função
f(x)=x^3-2x-8
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo [-2,2] e em seguida encontrar um ponto cin(-2,2) tal que
f'(c)=f(2)-f(-2)2-(-2)
Vamos usar o fato de que polinômios são contínuos e diferenciáveis em toda parte, calcular os valores nas extremidades e depois resolver f'(x)= coeficiente angular obtido.

Passo 2

Verificamos as duas condições do Teorema do Valor Médio:
  1. Continuidade em [-2,2]: como f é polinômio, ela é contínua em todo R, logo em [-2,2].
  2. Diferenciabilidade em (-2,2): polinômios são diferenciáveis em todo R, logo f é diferenciável em (-2,2).

Passo 3

Calculamos o coeficiente angular da reta que liga l(-2,f(-2)r) a l(2,f(2)r).
Primeiro,
f(2)=2^3-2cdot2-8=8-4-8=-4,
f(-2)=(-2)^3-2(-2)-8=-8+4-8=-12
Então o coeficiente é
f(2)-f(-2)2-(-2)=-4-(-12)4=84=2

Passo 4

A derivada de f é
f'(x)=3x^2-2
Pela conclusão do Teorema do Valor Médio, existe cin(-2,2) tal que
f'(c)=2
Logo
3c^2-2=2 Longrightarrow 3c^2=4 Longrightarrow c^2=43 Longrightarrow c=pm2raiz3
Ambos os valores estão em (-2,2). Um valor conveniente é
c=2raiz3

Resposta

Um valor conveniente para c é c=2raiz3.

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