Verifique que a função
, dada por
satisfaz, no intervalo [
], as duas condições do Teorema do Valor Médio. A seguir, encontre um valor conveniente para
que satisfaça a conclusão do referido Teorema.
Passo 1
O enunciado pede para verificar que a função
satisfaz as hipóteses do Teorema do Valor Médio no intervalo
e em seguida encontrar um ponto
tal que
Vamos usar o fato de que polinômios são contínuos e diferenciáveis em toda parte, calcular os valores nas extremidades e depois resolver
coeficiente angular obtido.
Passo 2
Verificamos as duas condições do Teorema do Valor Médio:
- Continuidade em
: como é polinômio, ela é contínua em todo , logo em . - Diferenciabilidade em
: polinômios são diferenciáveis em todo , logo é diferenciável em .
Passo 3
Calculamos o coeficiente angular da reta que liga
a
.
Primeiro,
Primeiro,
Então o coeficiente é
Passo 4
A derivada de
é
Pela conclusão do Teorema do Valor Médio, existe
tal que
Logo
Ambos os valores estão em
. Um valor conveniente é
Resposta
Um valor conveniente para
é
.