Use os conceitos de projeção e norma de vetores para determinar a distância do ponto P à reta r que passa pelos pontos A e B nos casos:
P(1,0,1), A(0,0,0) e B(6,3,2).

Passo 1

O problema pede a distância do ponto P à reta r definida pelos pontos A e B em R^3. Vamos usar os conceitos de norma de vetores e projeção ortogonal de um vetor sobre outro para obter um vetor perpendicular à reta, cuja norma será a distância buscada.

Passo 2

Primeiro, definimos o vetor direção da reta e o vetor de A a P:
d = AB = B - A = (6,,3,,2),
AP = P - A = (1,,0,,1)

Passo 3

A projeção ortogonal de AP sobre d é dada por
projvec d(AP) = APcdotvec dvec dcdotvec d,vec d
Calculamos os produtos internos:
APcdotvec d = 1cdot6 + 0cdot3 + 1cdot2 = 8, vec dcdotvec d = 6^2 + 3^2 + 2^2 = 49
Logo,
projvec d(AP) = 849,(6,,3,,2) = l(tfrac4849,,tfrac2449,,tfrac1649r)

Passo 4

O vetor que liga P à reta por meio da perpendicular é
vec v = AP - projvec d(AP) = l(1 - tfrac4849,,0 - tfrac2449,,1 - tfrac1649r) = l(tfrac149,,-tfrac2449,,tfrac3349r)

Passo 5

A distância do ponto P à reta r é a norma de vec v:
|vec v| = raizl(tfrac149r)^2 + l(-tfrac2449r)^2 + l(tfrac3349r)^2 = raiz166649 = raiz347

Resposta

A distância de P à reta r é
raiz347

Exercícios relacionados