Com uma tela de arame de 30 m de comprimento, deseja-se cercar um terreno retangular aproveitando o muro do quintal como um dos lados da cerca. Determine o comprimento dos lados do retângulo de modo que, utilizando toda a tela, a área da região cercada seja máxima.
Passo 1
O enunciado diz que temos
m de tela e queremos cercar três lados de um retângulo aproveitando o muro como quarto lado. O conteúdo é otimização de área com derivadas: vamos expressar a área em função de uma variável, derivar, encontrar o ponto crítico e verificar que é máximo.
Passo 2
Seja
a profundidade (lados perpendiculares ao muro) e
o comprimento paralelo ao muro. Como a tela só cerca dois trechos de comprimento
e um de comprimento
, a restrição é
Isolando
,
A área em função de
é
Passo 3
Calculamos a derivada de
:
Para ponto crítico, impomos
:
Passo 4
Usando a restrição para achar
:
Passo 5
Verificamos que é máximo com a segunda derivada:
logo o ponto crítico é de máximo.
Resposta
Os lados perpendiculares ao muro devem medir
m cada, e o lado paralelo ao muro deve medir
m.