Com uma tela de arame de 30 m de comprimento, deseja-se cercar um terreno retangular aproveitando o muro do quintal como um dos lados da cerca. Determine o comprimento dos lados do retângulo de modo que, utilizando toda a tela, a área da região cercada seja máxima.

Passo 1

O enunciado diz que temos 30 m de tela e queremos cercar três lados de um retângulo aproveitando o muro como quarto lado. O conteúdo é otimização de área com derivadas: vamos expressar a área em função de uma variável, derivar, encontrar o ponto crítico e verificar que é máximo.

Passo 2

Seja x a profundidade (lados perpendiculares ao muro) e y o comprimento paralelo ao muro. Como a tela só cerca dois trechos de comprimento x e um de comprimento y, a restrição é
2x + y = 30.
Isolando y,
y = 30 - 2x.
A área em função de x é
A(x) = x \cdot y = x\,(30 - 2x) = 30x - 2x^2.

Passo 3

Calculamos a derivada de A(x):
A'(x) = 30 - 4x.
Para ponto crítico, impomos A'(x)=0:
30 - 4x = 0 \quad\Longrightarrow\quad x = \frac{30}{4} = 7,5.

Passo 4

Usando a restrição para achar y:
y = 30 - 2\cdot 7,5 = 15.

Passo 5

Verificamos que é máximo com a segunda derivada:
A''(x) = -4 < 0,
logo o ponto crítico é de máximo.

Resposta

Os lados perpendiculares ao muro devem medir 7,5 m cada, e o lado paralelo ao muro deve medir 15 m.

Exercícios relacionados