Se
, onde
é diferenciável,
,
, e
, determine
quando
.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve funções diferenciáveis e a regra da cadeia. Queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
, dado que
, onde
e
também dependem de
. Para isso, usaremos a regra da cadeia e aplicaremos as informações fornecidas sobre as funções
e
e suas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se
, onde
e
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, além das derivadas de
e
em relação a
.
Passo 3
Vamos identificar os valores fornecidos no enunciado:
-
-
(derivada de em ) -
-
(derivada de em ) -
(derivada parcial de em relação a no ponto ) -
(derivada parcial de em relação a no ponto )
Passo 4
Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo:
Passo 5
Calculando cada termo:
Somando os resultados: