Se z = f(x, y), onde f é diferenciável, x = g(t), y = h(t), g(3) = 2, g'(3) = 5, h(3)=7, h'(3)=-4, fx(2,7)=6, e f_y(2,7) = -8, determine d/z dt quando t = 3.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo que envolve funções diferenciáveis e a regra da cadeia. Queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, , dado que , onde e também dependem de . Para isso, usaremos a regra da cadeia e aplicaremos as informações fornecidas sobre as funções e e suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra da cadeia para funções de várias variáveis. Se , onde e , então a derivada de em relação a é dada por:
Isso significa que precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e , além das derivadas de e em relação a .

Passo 3

Vamos identificar os valores fornecidos no enunciado:
  • (derivada de em )
  • (derivada de em )
  • (derivada parcial de em relação a no ponto )
  • (derivada parcial de em relação a no ponto )

Passo 4

Agora, substituímos esses valores na fórmula da regra da cadeia:
Substituindo:

Passo 5

Calculando cada termo:
Somando os resultados:

Resposta

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