Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum \frac{(-1)^{n}}{\log n}

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série
\sum \frac{(-1)^{n}}{\log n}
converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Observações e dados importantes fornecidos pelo enunciado:
  • A expressão \log n aparece no denominador; como \log 1=0 a soma não pode começar em n=1. Vamos considerar, como é usual, a série começando em n=2, isto é,
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\log n}.
  • O que precisamos decidir é: (i) a série converge? (ii) a série de valores absolutos \sum_{n=2}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{\log n}\right|=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log n} converge? Se a série original converge mas a de valores absolutos diverge, então a convergência é condicional; se a de valores absolutos converge, então a convergência é absoluta; se a série original não converge, então diverge.

Passo 2

Verificar o comportamento dos termos gerais: primeiro vemos se os termos vão a zero. Isto é necessário para que qualquer série tenha chance de convergir. Calculemos
\lim_{n\to\infty}\frac{(-1)^n}{\log n}.
Como \log n\to\infty quando n\to\infty, temos
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\log n}=0.
Logo os termos da série alternada tendem a zero, condição necessária (mas não suficiente) para convergência.

Passo 3

Aplicar o teste da série alternada (teste de Leibniz). Vou explicar esse teste com calma: se (a_n) é uma sequência de números positivos tais que a_n é monótona não crescente (ou pelo menos monotona a partir de algum índice) e \lim_{n\to\infty} a_n = 0, então a série alternada
\sum_{n} (-1)^n a_n
converge. Aqui identificamos a_n=\dfrac{1}{\log n} (positivo para n\ge2). Precisamos verificar duas coisas para usar o teste de Leibniz:
  1. \lim_{n\to\infty} a_n = 0. Já vimos que isso vale.
  2. a_n é monotona não crescente para n suficientemente grande.

Passo 4

Mostrar que a_n=\dfrac{1}{\log n} é decrescente para n\ge2. Uma forma simples é considerar a função contínua
f(x)=\frac{1}{\log x},\quad x>1,
e calcular sua derivada para checar o sinal. Derivando,
f'(x) = -\frac{1}{x(\log x)^2}.
Para x>1 temos x>0 e (\log x)^2>0, então f'(x)<0. Assim f é estritamente decrescente em (1,\infty), o que implica que a sequência a_n=f(n) é decrescente para n\ge2. Portanto a condição de monotonicidade do teste de Leibniz está satisfeita.

Passo 5

Concluir, pelo teste de Leibniz, que a série alternada converge. Repetindo de forma direta: como a_n=\dfrac{1}{\log n}>0, a_n é decrescente (para n\ge2) e \lim_{n\to\infty}a_n=0, a série
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\log n}
converge. Essa é uma convergência (a priori) que pode ser condicional ou absoluta — vamos verificar a absoluta no próximo passo.

Passo 6

Verificar a convergência absoluta: estudar a série dos módulos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log n}.
Queremos ver se esta série converge ou diverge. Uma ferramenta muito prática para séries com termos do tipo a_n positivos e decrescentes é o teste de condensação de Cauchy. O enunciado do teste (em palavras simples): se (a_n) é positiva e decrescente, então \sum a_n converge se, e somente se, a série condensada \sum_{k=1}^{\infty} 2^k a_{2^k} converge.

Passo 7

Aplicar o teste de condensação de Cauchy a a_n=\dfrac{1}{\log n}. Temos, para k\ge1,
a_{2^k}=\frac{1}{\log(2^k)}=\frac{1}{k\log 2}.
Multiplicando por 2^k obtemos os termos da série condensada:
2^k a_{2^k}=2^k\cdot\frac{1}{k\log 2}=\frac{2^k}{k\log 2}.
Observe o comportamento desses termos quando k\to\infty: a sequência \dfrac{2^k}{k\log 2} cresce sem limite (a exponencial 2^k domina qualquer fator polinomial em k), portanto em particular
\lim_{k\to\infty}\frac{2^k}{k\log 2}=+\infty.
Se os termos de uma série não tendem a zero, a série não pode convergir; aqui os termos da série condensada sequer tendem a zero, então a série condensada diverge.

Passo 8

Concluir sobre a série de valores absolutos: pelo teste de condensação, como a série condensada
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^k}{k\log 2}
diverge, a série original de módulos
\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{\log n}
também diverge. Portanto a série não converge absolutamente.

Passo 9

Reunindo os resultados: a série alternada \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{(-1)^n}{\log n} converge pelo teste de Leibniz, mas a série dos módulos \sum_{n=2}^{\infty}\dfrac{1}{\log n} diverge pelo teste de condensação de Cauchy. Logo a convergência da série original é condicional (converge, mas não absolutamente).

Resposta

Converge condicionalmente.

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