Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
\sum \frac{1}{2^{n}+n}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série e justificar: verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+n}
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge.
Informações dadas: o termo geral da série é a_n=\frac{1}{2^{n}+n}. Não há outras hipóteses ocultas.

Passo 2

Observação útil sobre sinais: cada termo a_n=\frac{1}{2^{n}+n} é positivo para todo n. Portanto |a_n|=a_n. Assim, para séries com termos não-negativos, convergência da série implica convergência absoluta (porque a própria série já é a soma dos módulos). Logo, bastará mostrar que a série converge (se convergir, será automaticamente absolutamente).

Passo 3

Ideia do método: comparar com uma série geométrica conhecida que converge. A série geométrica básica é
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n},
que converge se |r|<1 e, nesse caso, seu valor é \dfrac{r}{1-r}. Em particular, para r=\tfrac{1}{2} temos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = \frac{1/2}{1-1/2}=1,
logo a série geométrica com termos \frac{1}{2^{n}} converge.

Passo 4

Fazer a comparação direta entre os termos: para todo n\ge 1 temos
2^{n} \le 2^{n}+n,
logo invertendo (os denominadores são positivos),
\frac{1}{2^{n}+n} \le \frac{1}{2^{n}}.
Portanto cada termo da série dada é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica convergente.

Passo 5

Aplicar o teste da comparação direta (para séries de termos não-negativos): se 0\le a_n \le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui tomamos a_n=\dfrac{1}{2^{n}+n} e b_n=\dfrac{1}{2^{n}}. Como \sum b_n converge, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}+n}
converge.

Passo 6

Como notado no Passo 2, os termos são positivos, então a série é igual à série dos módulos dos termos. Logo a convergência obtida no Passo 5 é convergência absoluta: a série converge absolutamente.

Passo 7

Comentário alternativo (opcional, reforço didático): poderíamos também usar o teste da comparação limite. Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{1}{2^{n}+n}}{\dfrac{1}{2^{n}}} = \lim_{n\to\infty}\frac{2^{n}}{2^{n}+n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{1+\dfrac{n}{2^{n}}}.
Como \dfrac{n}{2^{n}}\to 0 (a potência 2^{n} cresce muito mais rápido que n), o limite acima vale 1. Pelo teste da comparação limite isso mostra que a série tem o mesmo comportamento da geométrica \sum 1/2^{n} e, portanto converge. Isso confirma a conclusão anterior.

Resposta

Converge absolutamente.

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