Mostre se cada série converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge. Justifique sua reposta.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a série e justificar: verificar se a série
converge condicionalmente, converge absolutamente ou diverge.
Informações dadas: o termo geral da série é . Não há outras hipóteses ocultas.
Informações dadas: o termo geral da série é
Passo 2
Observação útil sobre sinais: cada termo
é positivo para todo
. Portanto
. Assim, para séries com termos não-negativos, convergência da série implica convergência absoluta (porque a própria série já é a soma dos módulos). Logo, bastará mostrar que a série converge (se convergir, será automaticamente absolutamente).
Passo 3
Ideia do método: comparar com uma série geométrica conhecida que converge. A série geométrica básica é
que converge se
e, nesse caso, seu valor é
. Em particular, para
temos
logo a série geométrica com termos
converge.
Passo 4
Fazer a comparação direta entre os termos: para todo
temos
logo invertendo (os denominadores são positivos),
Portanto cada termo da série dada é menor ou igual ao termo correspondente da série geométrica convergente.
Passo 5
Aplicar o teste da comparação direta (para séries de termos não-negativos): se
para todo
e
converge, então
também converge. Aqui tomamos
e
. Como
converge, concluímos que
converge.
Passo 6
Como notado no Passo 2, os termos são positivos, então a série é igual à série dos módulos dos termos. Logo a convergência obtida no Passo 5 é convergência absoluta: a série converge absolutamente.
Passo 7
Comentário alternativo (opcional, reforço didático): poderíamos também usar o teste da comparação limite. Calcule
Como
(a potência
cresce muito mais rápido que
), o limite acima vale
. Pelo teste da comparação limite isso mostra que a série tem o mesmo comportamento da geométrica
e, portanto converge. Isso confirma a conclusão anterior.
Resposta
Converge absolutamente.