Sendo f(x)=x^{2}-4 x+3, determine:
a coordenada x do ponto do gráfico de f em que a reta tangente é horizontal.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}-4x+3 e pede a coordenada x do ponto do gráfico de f em que a reta tangente é horizontal.
Informações relevantes:
  • A função é um polinômio de segundo grau.
  • Pergunta: encontrar o(s) valor(es) de x tais que a reta tangente ao gráfico de f em (x,f(x)) seja horizontal.

Passo 2

O que significa “reta tangente horizontal”?
  • Geometricamente, a reta tangente em um ponto do gráfico tem uma inclinação (ou coeficiente angular).
  • Matematicamente, essa inclinação é dada pela derivada da função naquele ponto. Ou seja, a inclinação da tangente em x=a é f'(a).
  • Uma reta é horizontal quando sua inclinação é zero. Portanto devemos encontrar x tal que f'(x)=0.

Passo 3

Relembrando as regras básicas para calcular derivadas (de forma prática, sem formalismos pesados):
  • Regra do poder (power rule): a derivada de \,x^{n}\, é \,n x^{n-1}\,. Por exemplo, a derivada de \,x^{2}\, é \,2x.
  • Regra da linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem: a derivada de a\cdot g(x) é a\cdot g'(x).
  • A derivada de uma constante é zero (a derivada de 3 é 0).
    Aplicando isso ao nosso polinômio term a termo fica fácil.

Passo 4

Calcular a derivada f'(x) aplicando as regras:
  • Derivada de \,x^{2}\, é \,2x.
  • Derivada de -4x é -4 (constante -4 multiplicando x).
  • Derivada de +3 é 0.
    Logo,
f'(x)=2x-4.

Passo 5

Impor a condição “tangente horizontal” que é f'(x)=0 e resolver a equação:
2x-4=0.
Isolando x: somar 4 em ambos os lados dá
2x=4,
dividir por 2
x=2.
Podemos verificar: em x=2 a derivada vale f'(2)=2\cdot 2-4=0, então a inclinação da tangente é realmente zero.

Resposta

x=2

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