Sendo
, determine:
a coordenada x do ponto do gráfico de f em que a reta tangente é horizontal.
a coordenada x do ponto do gráfico de f em que a reta tangente é horizontal.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a coordenada
do ponto do gráfico de
em que a reta tangente é horizontal.
Informações relevantes:
Informações relevantes:
- A função é um polinômio de segundo grau.
- Pergunta: encontrar o(s) valor(es) de
tais que a reta tangente ao gráfico de em seja horizontal.
Passo 2
O que significa “reta tangente horizontal”?
- Geometricamente, a reta tangente em um ponto do gráfico tem uma inclinação (ou coeficiente angular).
- Matematicamente, essa inclinação é dada pela derivada da função naquele ponto. Ou seja, a inclinação da tangente em
é . - Uma reta é horizontal quando sua inclinação é zero. Portanto devemos encontrar
tal que .
Passo 3
Relembrando as regras básicas para calcular derivadas (de forma prática, sem formalismos pesados):
- Regra do poder (power rule): a derivada de
é . Por exemplo, a derivada de é . - Regra da linearidade: a derivada de soma é soma das derivadas, e constantes multiplicativas saem: a derivada de
é . - A derivada de uma constante é zero (a derivada de
é ).
Aplicando isso ao nosso polinômio term a termo fica fácil.
Passo 4
Calcular a derivada
aplicando as regras:
- Derivada de
é . - Derivada de
é (constante multiplicando ). - Derivada de
é .
Logo,
Passo 5
Impor a condição “tangente horizontal” que é
e resolver a equação:
Isolando
: somar
em ambos os lados dá
dividir por
dá
Podemos verificar: em
a derivada vale
, então a inclinação da tangente é realmente zero.