(valor 2,0 pontos) Calcule os limites, se existirem.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis,
e
, que estão indo para 0. O exercício é sobre cálculo de limites multivariáveis, e vamos precisar usar algumas técnicas de análise para ver se o limite existe ou não. A expressão que vamos analisar é:
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite quando duas variáveis estão indo para 0. Queremos ver se, independentemente de como
e
se aproximam de 0, a expressão inteira se aproxima de um único valor.
Passo 3
Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos
. Supondo que
seja uma constante, isso simplifica nossa análise. No denominador, temos
.
Passo 4
Para facilitar, vamos reescrever a expressão de forma que possamos comparar as potências de
e
. A expressão fica:
Passo 5
Agora, vamos comparar as potências de
no numerador e no denominador. No numerador, temos
. No denominador,
elevado ao cubo dá
. Então, a expressão simplifica para:
Passo 6
Agora, vemos que
tende ao infinito quando
se aproxima de 0. Multiplicando isso por
, ainda teremos algo tendendo ao infinito, a menos que
.
Passo 7
Portanto, o limite depende do valor de
. Se
, o limite tende ao infinito. Se
, então o numerador é 0 e o limite é 0.
Resposta
O limite não existe porque tende ao infinito, a menos que
, caso em que o limite é 0.