(valor 2,0 pontos) Calcule os limites, se existirem.
lim substackx 0 y 0 z^4 y^4(x^4+y^2)^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que envolve duas variáveis, x e y , que estão indo para 0. O exercício é sobre cálculo de limites multivariáveis, e vamos precisar usar algumas técnicas de análise para ver se o limite existe ou não. A expressão que vamos analisar é:
lim substackx 0 y 0 z^4 y^4(x^4+y^2)^3

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa calcular um limite quando duas variáveis estão indo para 0. Queremos ver se, independentemente de como x e y se aproximam de 0, a expressão inteira se aproxima de um único valor.

Passo 3

Vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos z^4 y^4 . Supondo que z seja uma constante, isso simplifica nossa análise. No denominador, temos (x^4 + y^2)^3 .

Passo 4

Para facilitar, vamos reescrever a expressão de forma que possamos comparar as potências de x e y . A expressão fica:
z^4 y^4(x^4 + y^2)^3 = z^4 cdot y^4(x^4 + y^2)^3

Passo 5

Agora, vamos comparar as potências de y no numerador e no denominador. No numerador, temos y^4 . No denominador, y^2 elevado ao cubo dá y^6 . Então, a expressão simplifica para:
z^4 cdot y^4y^6 = z^4 cdot 1y^2

Passo 6

Agora, vemos que 1y^2 tende ao infinito quando y se aproxima de 0. Multiplicando isso por z^4 , ainda teremos algo tendendo ao infinito, a menos que z = 0 .

Passo 7

Portanto, o limite depende do valor de z . Se z neq 0 , o limite tende ao infinito. Se z = 0 , então o numerador é 0 e o limite é 0.

Resposta

O limite não existe porque tende ao infinito, a menos que z = 0 , caso em que o limite é 0.

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