Mostre que o centroide da região delimitada pelas curvas y=cos x, y=0, x=0 e x=pi2 é barC=(pi2-1, pi8).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o centroide da região delimitada pelas curvas $ y = \cos x $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $. O centroide é o ponto de equilíbrio da área, dado pelas coordenadas $ \bar{C} = (\bar{x}, \bar{y}) $. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo integral que envolvem o cálculo de áreas e coordenadas de centroides.

Passo 2

Vamos começar calculando a área da região delimitada. A área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $ no intervalo de $ x = a $ a $ x = b $ é dada por:
A
No nosso caso, $ f(x) = \cos x $ e $ g(x) = 0 $, com $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $. Portanto:
y = f(x)

Passo 3

Vamos calcular a integral definida para encontrar a área:
A = integral0^pi2 cos x , dx = [ sin x ]0^pi2 = sin(pi2) - sin(0) = 1 - 0 = 1
Então, a área $ A $ é igual a 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular a coordenada $ \bar{x} $ do centroide. A fórmula para $ \bar{x} $ é:
barx
Substituindo os valores:
barx

Passo 5

Para resolver a integral $ \int x \cos x , dx $, vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
  • $ u = x $ integral x cos x , dx $ du = dx $
  • $ dv = \cos x , dx $ u = x $ v = \sin x $
Aplicando integração por partes:
Rightarrow
Agora, avaliamos de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
du = dx
Portanto, $ \bar{x} = \frac{\pi}{2} - 1 $.

Passo 6

Agora, vamos calcular a coordenada $ \bar{y} $ do centroide. A fórmula para $ \bar{y} $ é:
bary
Substituindo os valores:
bary

Passo 7

Para calcular $ \int \cos^2 x , dx $, usamos a identidade trigonométrica:
integral cos^2 x , dx
Então:
cos^2 x = 1 + cos 2x2
Calculando cada parte:
integral0^pi2 cos^2 x , dx = integral0^pi2 1 + cos 2x2 , dx = 12 integral0^pi2 1 , dx + 12 integral0^pi2 cos 2x , dx
12 integral0^pi2 1 , dx = 12 [ x ]0^pi2 = 12 cdot pi2 = pi4
Portanto:
12 integral0^pi2 cos 2x , dx = 12 [ sin 2x2 ]0^pi2 = 14 ( sin pi - sin 0 ) = 0

Passo 8

Agora, substituímos de volta na fórmula de $ \bar{y} $:
bary

Resposta

O centroide da região é $ \bar{C} = \left( \frac{\pi}{2} - 1, \frac{\pi}{8} \right) $.

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