Mostre que o centroide da região delimitada pelas curvas
e
é
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar o centroide da região delimitada pelas curvas $ y = \cos x $, $ y = 0 $, $ x = 0 $ e $ x = \frac{\pi}{2} $. O centroide é o ponto de equilíbrio da área, dado pelas coordenadas $ \bar{C} = (\bar{x}, \bar{y}) $. Para resolver isso, precisamos usar conceitos de cálculo integral que envolvem o cálculo de áreas e coordenadas de centroides.
Passo 2
Vamos começar calculando a área da região delimitada. A área $ A $ entre duas curvas $ y = f(x) $ e $ y = g(x) $ no intervalo de $ x = a $ a $ x = b $ é dada por:
No nosso caso, $ f(x) = \cos x $ e $ g(x) = 0 $, com $ a = 0 $ e $ b = \frac{\pi}{2} $. Portanto:
Passo 3
Vamos calcular a integral definida para encontrar a área:
Então, a área $ A $ é igual a 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular a coordenada $ \bar{x} $ do centroide. A fórmula para $ \bar{x} $ é:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para resolver a integral $ \int x \cos x , dx $, vamos usar integração por partes, onde escolhemos:
- $ u = x $
$ du = dx $ - $ dv = \cos x , dx $
$ v = \sin x $
Aplicando integração por partes:
Agora, avaliamos de 0 a $ \frac{\pi}{2} $:
Portanto, $ \bar{x} = \frac{\pi}{2} - 1 $.
Passo 6
Agora, vamos calcular a coordenada $ \bar{y} $ do centroide. A fórmula para $ \bar{y} $ é:
Substituindo os valores:
Passo 7
Para calcular $ \int \cos^2 x , dx $, usamos a identidade trigonométrica:
Então:
Calculando cada parte:
Portanto:
Passo 8
Agora, substituímos de volta na fórmula de $ \bar{y} $:
Resposta
O centroide da região é $ \bar{C} = \left( \frac{\pi}{2} - 1, \frac{\pi}{8} \right) $.