Mostre que o coeficiente de dilatação superficial de um material é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que o coeficiente de dilatação superficial de um material é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear. Vamos trabalhar com o conteúdo de dilatação térmica, especificamente com os coeficientes de dilatação linear e superficial. Para resolver isso, vamos precisar entender como esses coeficientes se relacionam quando um material se expande em uma ou duas dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o coeficiente de dilatação linear. Ele, geralmente representado por alpha, indica quanto um material se expande por unidade de comprimento por grau de variação de temperatura. A equação básica para dilatação linear é:
De
onde De é a variação do comprimento, L0 é o comprimento inicial e De é a variação de temperatura.

Passo 3

Agora, vamos pensar no coeficiente de dilatação superficial, que vamos chamar de beta. Esse coeficiente indica quanto a área de um material se expande por unidade de área por grau de variação de temperatura. A equação para dilatação superficial é:
De
onde De é a variação da área, A0 é a área inicial.

Passo 4

Para relacionar beta com alpha, vamos considerar a expansão em duas dimensões independentes. Se um material se expande linearmente com coeficiente alpha em duas direções perpendiculares, a nova área A será:
A = (L0 + De
Como a variação de temperatura geralmente é pequena, o termo (De pode ser desprezado. Então:
A approx L0^2 + 2L0De

Passo 5

Sabendo que De, substituímos na equação da área:
A approx L0^2 + 2L0 (alpha L0 De
A variação da área De é então:
De

Passo 6

Comparando com a equação da dilatação superficial De, temos:
2alpha L0^2 De
Cancelando L0^2 De dos dois lados:
beta = 2alpha

Resposta

Portanto, mostramos que o coeficiente de dilatação superficial beta é aproximadamente duas vezes o coeficiente de dilatação linear alpha, ou seja:
beta approx 2alpha

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