(a) Mostre que as combinações lineares (orbitais híbridos) h1=(sin zeta) s+(cos zeta) p e h2=(cos zeta) s-(sin zeta) p são mutuamente ortogonais para todos os valores do ângulo zeta (zeta). Note que o ângulo zeta é um parâmetro e não uma coordenada angular em d tau.
(b) Normalize as combinações lineares acima, dado que os orbitais s e p são, cada um deles, normalizados.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e envolve combinar orbitais atômicos usando combinações lineares. A gente vai trabalhar com os orbitais híbridos $ h_1 $ e $ h_2 $, mostrando que eles são ortogonais e depois normalizando esses orbitais. Para isso, vamos precisar entender de produtos internos e propriedades de normalização dos orbitais $ s $ e $ p $.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se $ h_1 $ e $ h_2 $ são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, vamos calcular $ h_1 \cdot h_2 $.

Passo 3

Escrevendo as expressões de $ h_1 $ e $ h_2 $:
h1
h2

Passo 4

Calculando o produto interno $ h_1 \cdot h_2 $:
h1 cdot h2

Passo 5

Distribuindo o produto:
h1 cdot h2 = (sin zeta)(cos zeta)(s cdot s) - (sin^2 zeta)(s cdot p) + (cos^2 zeta)(pe cdot s) - (sin zeta cos zeta)(pe cdot p)

Passo 6

Sabemos que os orbitais $ s $ e $ p $ são normalizados, ou seja, $ s \cdot s = 1 $ e $ p \cdot p = 1 $. Além disso, como são diferentes tipos de orbitais, $ s \cdot p = 0 $. Substituindo esses valores:
s

Passo 7

Notamos que há um erro aqui. Vamos refazer o passo 5 com atenção aos termos cruzados.
Recalculando:
h1 cdot h2 = (sin zeta)(cos zeta)(s cdot s) + (sin zeta)(-sin zeta)(s cdot p) + (cos zeta)(cos zeta)(pe cdot s) + (cos zeta)(-sin zeta)(pe cdot p)
Como $ s \cdot p = 0 $ e $ p_e \cdot s = 0 $, e $ p_e \cdot p = 1 $:
s cdot p = 0

Passo 8

Conseguimos mostrar que $ h_1 \cdot h_2 = 0 $ para qualquer valor de $ \zeta $, o que significa que $ h_1 $ e $ h_2 $ são ortogonais.

Passo 9

Agora, vamos normalizar $ h_1 $ e $ h_2 $. Para normalizar um vetor, dividimos ele pela sua magnitude. Primeiro, calculamos a magnitude de $ h_1 $:
h1
Similarmente, para $ h_2 $:
h2

Resposta

Os orbitais híbridos $ h_1 $ e $ h_2 $ são mutuamente ortogonais para qualquer valor de $ \zeta $ e já estão normalizados:
h1
h2

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