(a) Mostre que as combinações lineares (orbitais híbridos)
são mutuamente ortogonais para todos os valores do ângulo
(zeta). Note que o ângulo
é um parâmetro e não uma coordenada angular em
.
(b) Normalize as combinações lineares acima, dado que os orbitais
e
são, cada um deles, normalizados.
(b) Normalize as combinações lineares acima, dado que os orbitais
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão tem duas partes e envolve combinar orbitais atômicos usando combinações lineares. A gente vai trabalhar com os orbitais híbridos $ h_1 $ e $ h_2 $, mostrando que eles são ortogonais e depois normalizando esses orbitais. Para isso, vamos precisar entender de produtos internos e propriedades de normalização dos orbitais $ s $ e $ p $.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se $ h_1 $ e $ h_2 $ são ortogonais. Dois vetores são ortogonais se o produto interno entre eles for zero. Então, vamos calcular $ h_1 \cdot h_2 $.
Passo 3
Escrevendo as expressões de $ h_1 $ e $ h_2 $:
Passo 4
Calculando o produto interno $ h_1 \cdot h_2 $:
Passo 5
Distribuindo o produto:
Passo 6
Sabemos que os orbitais $ s $ e $ p $ são normalizados, ou seja, $ s \cdot s = 1 $ e $ p \cdot p = 1 $. Além disso, como são diferentes tipos de orbitais, $ s \cdot p = 0 $. Substituindo esses valores:
Passo 7
Notamos que há um erro aqui. Vamos refazer o passo 5 com atenção aos termos cruzados.
Recalculando:
Como $ s \cdot p = 0 $ e $ p_e \cdot s = 0 $, e $ p_e \cdot p = 1 $:
Passo 8
Conseguimos mostrar que $ h_1 \cdot h_2 = 0 $ para qualquer valor de $ \zeta $, o que significa que $ h_1 $ e $ h_2 $ são ortogonais.
Passo 9
Agora, vamos normalizar $ h_1 $ e $ h_2 $. Para normalizar um vetor, dividimos ele pela sua magnitude. Primeiro, calculamos a magnitude de $ h_1 $:
Similarmente, para $ h_2 $:
Resposta
Os orbitais híbridos $ h_1 $ e $ h_2 $ são mutuamente ortogonais para qualquer valor de $ \zeta $ e já estão normalizados: