Seja V=R^3. Considere os vetores v1=(1,-1,2), v2=(2,1,0) e v3=(-1,5,1). Verificar se o vetor v=(2,8,-1) se escreve como combinação linear de v1, v2 e v3.

Passo 1

O enunciado pede verificar se ;v=(2,8,-1) pertence ao subespaço gerado por v1,v2,v3 em R^3, ou seja, se existem escalares ;a,b,c tais que
a,v1+b,v2+c,v3=v
Para isso, vamos montar e resolver o sistema linear associado.

Passo 2

Escrevendo ;a,v1+b,v2+c,v3=(2,8,-1) em coordenadas, obtemos
a + 2b - c = 2 - a + b + 5c = 8 2a + c = -1

Passo 3

Da terceira equação segue
c = -1 - 2a
Substituindo em a + 2b - c = 2 e em -a + b + 5c = 8, reduzimos a um sistema 2times2:
3a + 2b = 1 -11a + b = 13

Passo 4

Resolvendo esse sistema, isolamos b em -11a + b = 13, dando b = 13 + 11a, e substituímos em 3a + 2b = 1:
25a = -25 implies a = -1
Logo,
b = 13 + 11(-1) = 2,
e
c = -1 - 2(-1) = 1

Passo 5

Como existem ;a=-1,;b=2,;c=1 satisfazendo a combinação linear, concluímos que ,v pertence à combinação de v1,v2,v3.

Resposta

v = -,v1 + 2,v2 + v3

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