Mostre que o conjunto 1, i é uma base de C sobre o corpo dos R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial C, visto como espaço sobre o corpo R, admite 1,i como base. Para isso precisamos usar os conceitos de independência linear (nenhuma combinação real não trivial de 1 e i pode dar zero) e de geração (todo número complexo é combinação real de 1 e i).

Passo 2

Mostramos que
Escrevendo o lado esquerdo em forma e igualando à parte real e imaginária de , obtemos o sistema
Como a única solução é , deduzimos que e são linearmente independentes sobre .

Passo 3

Mostramos que 1,i gera C. Seja zinC qualquer, e escreva z = x + y,i com x,yinR. Então
z = xcdot 1 + ycdot i,
ou seja, z é combinação linear real de 1 e i. Assim, todo vetor em C está no span de 1,i.

Passo 4

Como 1,i é um conjunto de dois vetores em C (que tem dimensão 2 sobre R), e já mostramos que são independentes e geradores, concluímos que 1,i é de fato uma base de C sobre R.

Resposta

1,i é uma base de C sobre R.

Exercícios relacionados