Mostre que o conjunto
é uma base de
sobre o corpo dos
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial
, visto como espaço sobre o corpo
, admite
como base. Para isso precisamos usar os conceitos de independência linear (nenhuma combinação real não trivial de
e
pode dar zero) e de geração (todo número complexo é combinação real de
e
).
Passo 2
Mostramos que
Escrevendo o lado esquerdo em forma
e igualando à parte real e imaginária de
, obtemos o sistema
Como a única solução é , deduzimos que
e
são linearmente independentes sobre
.
Passo 3
Mostramos que
gera
. Seja
qualquer, e escreva
com
. Então
ou seja,
é combinação linear real de
e
. Assim, todo vetor em
está no span de
.
Passo 4
Como
é um conjunto de dois vetores em
(que tem dimensão
sobre
), e já mostramos que são independentes e geradores, concluímos que
é de fato uma base de
sobre
.