Obtenha uma base para cada um desses subespaços de . Qual a dimensão desses subespaços?
Todas as matrizes diagonais.
Passo 1
O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço formado por todas as matrizes diagonais.
Este é um problema de álgebra linear, envolvendo subespaços vetoriais, base e dimensão.
Passo 2
Qualquer matriz diagonal tem a forma
onde a,b,cinR. Logo, podemos identificar S com o espaço R^3 via o isomorfismo (a,b,c)mapsto A.
Passo 3
Para gerar arbitrariamente qualquer diagonal , basta combinar as matrizes
Essas três matrizes são linearmente independentes e geram todo .
Passo 4
Como encontramos exatamente três vetores independentes que geram S, concluímos que
dim(S) = 3
Resposta
Uma base para o subespaço das matrizes diagonais é