Obtenha uma base para cada um desses subespaços de M3 times 3(R). Qual a dimensão desses subespaços?
Todas as matrizes diagonais.

Passo 1

O enunciado pede uma base e a dimensão do subespaço
Ssubset M3times3(R) formado por todas as matrizes diagonais.
Este é um problema de álgebra linear, envolvendo subespaços vetoriais, base e dimensão.

Passo 2

Qualquer matriz diagonal Ain S tem a forma
A = a & 0 & 0 0 & b & 0 0 & 0 & c ,
onde a,b,cinR. Logo, podemos identificar S com o espaço R^3 via o isomorfismo (a,b,c)mapsto A.

Passo 3

Para gerar arbitrariamente qualquer diagonal , basta combinar as matrizes
Essas três matrizes são linearmente independentes e geram todo .

Passo 4

Como encontramos exatamente três vetores independentes que geram S, concluímos que
dim(S) = 3

Resposta

Uma base para o subespaço das matrizes diagonais é
lE11,,E22,,E33r
e sua dimensão é 3.

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