Mostre que o conjunto V=(x, y) in R^2 mid x, y in R é um espaço vetorial sobre R, com as operações:
(x1, y1)+(x2, y2) & =(x1+x2+5, y1+y2) alpha cdot(x, y) & =(alpha x+5(alpha-1), alpha y), alpha in R

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
V = (x,y)in R^2mid x,yin R
com as operações
(x1,y1)oplus(x2,y2)=(x1+x2+5,;y1+y2), alphaodot(x,y)=(alpha x+5(alpha-1),;alpha y)
é um espaço vetorial sobre R. Para isso, vamos construir um isomorfismo linear entre (V,oplus,odot) e o espaço vetorial usual R^2.

Passo 2

Definimos a aplicação
phicolon Vto R^2, phi(x,y) = (x+5,;y)
Vamos verificar que phi preserva soma e multiplicação escalar.

Passo 3

Para todo (x1,y1),(x2,y2)in V temos
phil((x1,y1)oplus(x2,y2)r) =phil(x1+x2+5,;y1+y2r) =(x1+x2+5+5,;y1+y2) =(x1+5,;y1)+(x2+5,;y2) =phi(x1,y1)+phi(x2,y2)

Passo 4

Para todo alphain R e (x,y)in V calculamos
phil(alphaodot(x,y)r) =phil(alpha x+5(alpha-1),;alpha yr) =(alpha x+5(alpha-1)+5,;alpha y) =(alpha x+5alpha,;alpha y) =alpha,(x+5,;y) =alpha,phi(x,y)

Passo 5

A aplicação phi é bijetora porque seu inverso é
phi^-1(u,v)=(u-5,;v),
que está bem definida de R^2 em V. Como phi é bijetora e preserva soma e produto escalar, ela é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

O par l(V,oplus,odotr) é um espaço vetorial sobre R, isomorfo ao espaço vetorial usual R^2.

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