Mostre que o conjunto
é um espaço vetorial sobre
, com as operações:
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o conjunto
com as operações
é um espaço vetorial sobre
. Para isso, vamos construir um isomorfismo linear entre
e o espaço vetorial usual
.
Passo 2
Definimos a aplicação
Vamos verificar que
preserva soma e multiplicação escalar.
Passo 3
Para todo
temos
Passo 4
Para todo
e
calculamos
Passo 5
A aplicação
é bijetora porque seu inverso é
que está bem definida de
em
. Como
é bijetora e preserva soma e produto escalar, ela é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Resposta
O par
é um espaço vetorial sobre
, isomorfo ao espaço vetorial usual
.