Mostre que o espaço vetorial
é soma direta de
e
(do item anterior), isto é
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial
se decompõe como soma direta de
e
Em outras palavras, precisamos provar duas coisas:
- Todo
pode ser escrito como soma de um simétrico e um anti-simétrico. - A interseção
é apenas o zero.
Esses dois pontos juntos dão.
Passo 2
Mostramos que qualquer
se decompõe em parte simétrica e parte anti-simétrica. Defina
Então
-
, logo . -
, logo . - Soma das partes:
Assim,
, e concluímos
.
Passo 3
Mostramos que
. Seja
. Então
(pois
)
e
(pois
).
Igualando as duas expressões para vem
e
Igualando as duas expressões para
Logo a única matriz em comum é a matriz zero.
Resposta
Como mostramos
e
, segue que