Mostre que o espaço vetorial V=Mn(R) é soma direta de S2 e S3 (do item anterior), isto é V=S2 oplus S3.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o espaço vetorial V = Mn(R) se decompõe como soma direta de
S2 = AinMn(R) mid A^T=A
e
S3 = AinMn(R) mid A^T=-A
Em outras palavras, precisamos provar duas coisas:
  1. Todo Ain V pode ser escrito como soma de um simétrico e um anti-simétrico.
  2. A interseção S2cap S3 é apenas o zero.
    Esses dois pontos juntos dão V = S2oplus S3.

Passo 2

Mostramos que qualquer Ain V se decompõe em parte simétrica e parte anti-simétrica. Defina
S = tfrac12l(A + A^Tr), T = tfrac12l(A - A^Tr)
Então
  1. S^T = tfrac12l(A^T + (A^T)^Tr) = tfrac12(A^T + A) = S, logo Sin S2.
  2. T^T = tfrac12l(A^T - (A^T)^Tr) = tfrac12(A^T - A) = -,tfrac12(A - A^T) = -T, logo Tin S3.
  3. Soma das partes:
S + T = tfrac12(A + A^T) + tfrac12(A - A^T) = A
Assim, A = S + Tin S2 + S3, e concluímos V = S2 + S3.

Passo 3

Mostramos que S2cap S3=0. Seja Xin S2cap S3. Então
;X^T=X (pois Xin S2)
e
;X^T=-X (pois Xin S3).
Igualando as duas expressões para X^T vem
X = X^T = -X Longrightarrow 2X = 0 Longrightarrow X = 0
Logo a única matriz em comum é a matriz zero.

Resposta

Como mostramos V = S2 + S3 e S2cap S3 = 0, segue que
V = S2oplus S3

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