Mostre que o conjunto V=(x, x^2) / x in R é um espaço vetorial, sobre R, com as operações definidas por:
  • Adição: (x1, x1 ^2) oplus (x2, x2 ^2)=((x1+x2),(x1+x2)^2)
  • Multiplicação: alpha odot (x, x^2)=(alpha x, alpha^2 x^2).

Passo 1

O enunciado define
V = (x,x^2)mid xinR
com as operações
(x1,x1^2)oplus(x2,x2^2) = l(x1+x2,,(x1+x2)^2r), alphaodot(x,x^2)=l(alpha x,;alpha^2x^2r)
Queremos mostrar que V é um espaço vetorial sobre R. Vamos usar a estratégia de construir um isomorfismo com R (que já é espaço vetorial).

Passo 2

Defina
phi:Rto V, phi(x) = (x,x^2)
1. \emph{Bijetividade.} Se phi(x1)=phi(x2) então (x1,x1^2)=(x2,x2^2), daí x1=x2, logo phi é injetora. Dado (y,y^2)in V, basta escolher x=y para ter phi(x)=(y,y^2), logo é sobrejetora.
2. \emph{Preservação da adição.} Para x1,x2inR:
phi(x1+x2) = l(x1+x2,,(x1+x2)^2r) = (x1,x1^2)oplus(x2,x2^2) = phi(x1)oplusphi(x2)
3. \emph{Preservação da multiplicação escalar.} Para alphainR e xinR:
phi(alpha x) = l(alpha x,,(alpha x)^2r) = (alpha x,alpha^2x^2) = alphaodot(x,x^2) = alphaodotphi(x)
Logo phi é um isomorfismo de espaços vetoriais entre R (com operações usuais) e V (com oplus,odot).

Passo 3

Como R é um espaço vetorial sobre R e phi é um isomorfismo, segue que V também satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Resposta

V é um espaço vetorial sobre R.

Exercícios relacionados