Sendo V um espaço vetorial
e
, prove que:
- P1: Existe um único vetor nulo em V, que é o elemento neutro da adição.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial
, o elemento neutro da adição (o chamado vetor nulo) existe e é único. O conteúdo aqui é usar o axioma de espaço vetorial que garante a existência de um elemento neutro e então provar sua unicidade.
Passo 2
Pela definição de espaço vetorial, já sabemos que existe ao menos um vetor
tal que, para todo
,
e
Isso estabelece a existência de um vetor nulo.
Passo 3
Para provar que esse vetor nulo é único, suponha que existam dois vetores nulos em
, digamos
e
. Pela propriedade de neutro de cada um, temos simultaneamente
Passo 4
Como ambas as expressões acima se referem ao mesmo somatório
, concluímos que
Logo, quaisquer dois candidatos a vetor nulo devem coincidir.
Resposta
Em todo espaço vetorial
existe exatamente um vetor nulo
que é o elemento neutro da adição.