Sendo V um espaço vetorial e u, v e e in V e alpha e beta in R, prove que:
  • P1: Existe um único vetor nulo em V, que é o elemento neutro da adição.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num espaço vetorial V, o elemento neutro da adição (o chamado vetor nulo) existe e é único. O conteúdo aqui é usar o axioma de espaço vetorial que garante a existência de um elemento neutro e então provar sua unicidade.

Passo 2

Pela definição de espaço vetorial, já sabemos que existe ao menos um vetor 0in V tal que, para todo vin V,
v + 0 = v
e
0 + v = v
Isso estabelece a existência de um vetor nulo.

Passo 3

Para provar que esse vetor nulo é único, suponha que existam dois vetores nulos em V, digamos 0 e 0'. Pela propriedade de neutro de cada um, temos simultaneamente
0 + 0' = 0' e 0 + 0' = 0

Passo 4

Como ambas as expressões acima se referem ao mesmo somatório 0 + 0', concluímos que
0' = 0
Logo, quaisquer dois candidatos a vetor nulo devem coincidir.

Resposta

Em todo espaço vetorial V existe exatamente um vetor nulo 0in V que é o elemento neutro da adição.

Exercícios relacionados