Seja T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x-4 z, 2 y+z, x+2 y-3 z). Encontre a matriz A que representa essa transformação linear, calcule A^2 e escreva a expressão para T^2(x, y, z).

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
T:R^3toR^3, T(x,y,z)=(x-4z,;2y+z,;x+2y-3z)
e pede: a matriz A de T na base canônica, o quadrado A^2 e a fórmula de T^2. Para isso, vamos usar que as colunas de A são T(e1),T(e2),T(e3), onde e1=(1,0,0), e2=(0,1,0), e3=(0,0,1).

Passo 2

Calculamos as imagens dos vetores da base:
T(e1)=T(1,0,0)=(1-4cdot0,;2cdot0+0,;1+2cdot0-3cdot0)=(1,0,1),
T(e2)=T(0,1,0)=(0-4cdot0,;2cdot1+0,;0+2cdot1-3cdot0)=(0,2,2),
T(e3)=T(0,0,1)=(0-4cdot1,;2cdot0+1,;0+2cdot0-3cdot1)=(-4,1,-3)

Passo 3

Montando a matriz A cujas colunas são T(e1),T(e2),T(e3), obtemos
A = 1 & 0 & -4 0 & 2 & 1 1 & 2 & -3

Passo 4

Para achar A^2 fazemos a multiplicação Acdot A. Calculando cada entrada, chega-se a
A^2 = -3 & -8 & 8 1 & 6 & -1 -2 & -2 & 7

Passo 5

Finalmente, T^2(x,y,z)=A^2,(x,y,z)^top. Assim,
T^2(x,y,z)=l(-3x-8y+8z,;x+6y - z,;-2x-2y+7zr)

Resposta

A matriz de T é
A = 1 & 0 & -4 0 & 2 & 1 1 & 2 & -3 ,
seu quadrado é
A^2 = -3 & -8 & 8 1 & 6 & -1 -2 & -2 & 7 ,
e
T^2(x,y,z)=(-3x-8y+8z,;x+6y - z,;-2x-2y+7z)

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