Verifique se o conjunto
é subespaço do espaço vetorial
nos seguintes casos:
(g)
.
(g)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, que é o conjunto de todas as funções reais. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos checar para confirmar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar: um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
- Contém o vetor zero: No nosso caso, o vetor zero é a função
para todo . - Fechado sob adição: Se duas funções estão em
, a soma delas também precisa estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em
, qualquer múltiplo dela também precisa estar em .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero:
Precisamos ver se a função zero está em
. A função zero é definida por
para todo
.
Vamos verificar se ela satisfaz
:
Isso é verdade para todo
, então a função zero está em
.
Passo 4
2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer
e
que estão em
. Isso significa que:
Queremos ver se
também está em
. Vamos calcular
:
Então,
também satisfaz
, o que significa que
está em
.
Passo 5
3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função
que está em
e um escalar
(que é um número real qualquer). Queremos ver se
também está em
.
Vamos calcular
:
Então,
também satisfaz
, ou seja,
está em
.
Resposta
Então, verificamos que o conjunto
contém a função zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto,
é sim um subespaço do espaço vetorial
.