Verifique se o conjunto S é subespaço do espaço vetorial V nos seguintes casos:
(g) S=f: R R: f(-x)=-f(x), V=F(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente verificar se o conjunto S = f: R R mid f(-x) = -f(x) é um subespaço do espaço vetorial V = F(R) , que é o conjunto de todas as funções reais. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos checar para confirmar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar: um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições básicas:
  1. Contém o vetor zero: No nosso caso, o vetor zero é a função f(x) = 0 para todo x .
  2. Fechado sob adição: Se duas funções estão em S , a soma delas também precisa estar em S .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: Se uma função está em S , qualquer múltiplo dela também precisa estar em S .
Vamos verificar cada uma dessas condições para o conjunto S .

Passo 3

1. Contém o vetor zero:
Precisamos ver se a função zero está em S . A função zero é definida por f(x) = 0 para todo x .
Vamos verificar se ela satisfaz f(-x) = -f(x) :
f(-x) = 0 = -0 = -f(x)
Isso é verdade para todo x , então a função zero está em S .

Passo 4

2. Fechado sob adição:
Vamos pegar duas funções quaisquer f e g que estão em S . Isso significa que:
f(-x) = -f(x) e g(-x) = -g(x)
Queremos ver se (f + g) também está em S . Vamos calcular (f + g)(-x) :
(f + g)(-x) = f(-x) + g(-x) = -f(x) + (-g(x)) = -(f(x) + g(x)) = -(f + g)(x)
Então, f + g também satisfaz (f + g)(-x) = -(f + g)(x) , o que significa que f + g está em S .

Passo 5

3. Fechado sob multiplicação por escalar:
Agora, vamos pegar uma função f que está em S e um escalar c (que é um número real qualquer). Queremos ver se c cdot f também está em S .
Vamos calcular (c cdot f)(-x) :
(c cdot f)(-x) = c cdot f(-x) = c cdot (-f(x)) = -c cdot f(x) = -(c cdot f)(x)
Então, c cdot f também satisfaz (c cdot f)(-x) = -(c cdot f)(x) , ou seja, c cdot f está em S .

Resposta

Então, verificamos que o conjunto S contém a função zero, é fechado sob adição e fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, S = f: R R mid f(-x) = -f(x) é sim um subespaço do espaço vetorial V = F(R) .

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