Sejam H1, ldots, Hn subgrupos do grupo G. Mostre que
H=H1 cap ldots cap Hn

Passo 1

O enunciado diz que H1,dots,Hn são subgrupos de um mesmo grupo G e define
H = H1cap H2capcdotscap Hn
Queremos mostrar que H também é subgrupo de G. Para isso usaremos o critério de subgrupo: um subconjunto não-vazio de G é subgrupo se for fechado sob produto e inverso.

Passo 2

Mostramos primeiro que H não é vazio. Como cada Hi é subgrupo de G, temos o elemento identidade ein Hi para todo i. Logo
ein H1,;ein H2,;dots,;ein Hn Longrightarrow ein H1capcdotscap Hn=H,
então Hneqvarnothing.

Passo 3

Agora verificamos o fechamento multiplicativo. Sejam a,bin H. Então, para cada i, temos ain Hi e bin Hi. Como Hi é subgrupo, abin Hi. Isso vale para todo i, logo
abin H1capcdotscap Hn=H

Passo 4

Falta o fechamento sob inverso. Se ain H, então ain Hi para todo i. Como cada Hi é subgrupo, ,a^-1in Hi para todo i. Assim
a^-1in H1capcdotscap Hn=H

Passo 5

Como H é não-vazio, fechado sob produto e fechado sob inverso, concluímos que H é subgrupo de G.

Resposta

A interseção H1capcdotscap Hn é subgrupo de G.

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