Sejam
subgrupos do grupo
. Mostre que
Passo 1
O enunciado diz que
são subgrupos de um mesmo grupo
e define
Queremos mostrar que
também é subgrupo de
. Para isso usaremos o critério de subgrupo: um subconjunto não-vazio de
é subgrupo se for fechado sob produto e inverso.
Passo 2
Mostramos primeiro que
não é vazio. Como cada
é subgrupo de
, temos o elemento identidade
para todo
. Logo
então
.
Passo 3
Agora verificamos o fechamento multiplicativo. Sejam
. Então, para cada
, temos
e
. Como
é subgrupo,
. Isso vale para todo
, logo
Passo 4
Falta o fechamento sob inverso. Se
, então
para todo
. Como cada
é subgrupo,
para todo
. Assim
Passo 5
Como
é não-vazio, fechado sob produto e fechado sob inverso, concluímos que
é subgrupo de
.
Resposta
A interseção
é subgrupo de
.