(2,5 Pontos) Questão 3: Sejam u=(1,-1,1), v=(2,-3,4) e w=(-1,2,0).
a) Determine 2 u \cdot(w \times v).
b) Calcule a área do paralelogramo definido pelos vetores.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em \mathbb{R}^3:
u=(1,-1,1),\quad v=(2,-3,4),\quad w=(-1,2,0),
e pede:
a) o valor de 2\,u\cdot(w\times v);
b) a área do paralelogramo gerado pelos vetores w e v.
Isso envolve produto vetorial para obter w\times v, depois produto escalar com u e, por fim, norma do produto vetorial para a área.

Passo 2

Calcular o produto vetorial w\times v. Usamos a definição como determinante:
w\times v =\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\[6pt] -1 & 2 & 0 \\[3pt] 2 & -3 & 4 \end{vmatrix} =\mathbf{i}(2\cdot4-0\cdot(-3)) -\mathbf{j}(-1\cdot4-0\cdot2) +\mathbf{k}(-1\cdot(-3)-2\cdot2).
Logo,
w\times v =8\,\mathbf{i}-(-4)\,\mathbf{j}+(-1)\,\mathbf{k} =8\,\mathbf{i}+4\,\mathbf{j}-1\,\mathbf{k},
ou seja
w\times v=(8,4,-1).
]

Passo 3

Com w\times v=(8,4,-1), fazemos o produto escalar com u=(1,-1,1):
u\cdot(w\times v) =1\cdot8+(-1)\cdot4+1\cdot(-1) =8-4-1=3.
Portanto,
2\,u\cdot(w\times v)=2\cdot3=6.

Passo 4

A área do paralelogramo gerado pelos vetores w e v é a norma do seu produto vetorial:
\text{área} =\big\|\,w\times v\big\| =\sqrt{8^2+4^2+(-1)^2} =\sqrt{64+16+1} =\sqrt{81} =9.á

Resposta

a) 6
b) 9

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