Mostre que o conjunto
é um subespaço vetorial de
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
é um subespaço vetorial de
. Para isso, vamos usar o critério de subespaço, que exige verificar três propriedades:
- o vetor zero está em
; -
é fechado sob soma de vetores; -
é fechado sob multiplicação por escalares.
Passo 2
Verificar se o vetor zero
pertence a
.
Substituindo em , obtemos
Substituindo em
logo
.
Passo 3
Verificar o fechamento sob soma.
Sejam e
vetores em
. Então
Sejam
Considere a soma
. Calculamos
Portanto,
, mostrando o fechamento sob soma.
Passo 4
Verificar o fechamento sob multiplicação escalar.
Seja e
. Como
, temos
Seja
Logo
, provando o fechamento sob multiplicação escalar.
Passo 5
Já que
contém o vetor zero e é fechado tanto sob soma quanto sob multiplicação escalar, concluímos que
é um subespaço vetorial de
.