Mostre que o conjunto W=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} \mid 2 x-6 y=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 2x - 6y = 0\}
é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2. Para isso, vamos usar o critério de subespaço, que exige verificar três propriedades:
  1. o vetor zero está em W;
  2. W é fechado sob soma de vetores;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalares.

Passo 2

Verificar se o vetor zero (0,0) pertence a W.
Substituindo em 2x - 6y = 0, obtemos
2\cdot 0 - 6\cdot 0 = 0,
logo (0,0)\in W.

Passo 3

Verificar o fechamento sob soma.
Sejam (x_1,y_1) e (x_2,y_2) vetores em W. Então
2x_1 - 6y_1 = 0 \quad\text{e}\quad 2x_2 - 6y_2 = 0.
Considere a soma (x_1+x_2,\;y_1+y_2). Calculamos
2(x_1+x_2) - 6(y_1+y_2) = (2x_1 - 6y_1) + (2x_2 - 6y_2) = 0 + 0 = 0.
Portanto, (x_1+x_2,\;y_1+y_2)\in W, mostrando o fechamento sob soma.

Passo 4

Verificar o fechamento sob multiplicação escalar.
Seja (x,y)\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Como 2x - 6y = 0, temos
2(\lambda x) - 6(\lambda y) = \lambda\,(2x - 6y) = \lambda \cdot 0 = 0.
Logo (\lambda x,\;\lambda y)\in W, provando o fechamento sob multiplicação escalar.

Passo 5

Já que W contém o vetor zero e é fechado tanto sob soma quanto sob multiplicação escalar, concluímos que W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

Resposta

W é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^2.

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