Mostre que o conjunto F=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{2} \mid x-6 y+4 z=0\right\} é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define o conjunto
F = \{(x,y,z)\in\mathbb{R}^3 \mid x - 6y + 4z = 0\}
e pede para mostrar que F é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3. Para isso usamos o critério de subespaço:
  1. Verificar que o vetor zero pertence a F.
  2. Verificar que F é fechado sob soma.
  3. Verificar que F é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero (0,0,0) está em F. De fato, substituindo em x - 6y + 4z = 0 temos
0 - 6\cdot 0 + 4\cdot 0 = 0,
logo (0,0,0)\in F.

Passo 3

Sejam \mathbf{u}=(x_1,y_1,z_1) e \mathbf{v}=(x_2,y_2,z_2) dois vetores em F. Então
x_1 - 6y_1 + 4z_1 = 0 \quad\text{e}\quad x_2 - 6y_2 + 4z_2 = 0.
Para a soma \mathbf{u}+\mathbf{v}=(x_1+x_2,y_1+y_2,z_1+z_2) temos
(x_1+x_2) - 6(y_1+y_2) + 4(z_1+z_2) = (x_1 -6y_1 +4z_1) + (x_2 -6y_2 +4z_2) = 0 + 0 = 0.
Logo \mathbf{u}+\mathbf{v}\in F, mostrando que F é fechado sob soma.

Passo 4

Seja \alpha\in\mathbb{R} e \mathbf{u}=(x,y,z)\in F, isto é, x - 6y + 4z = 0. Para o múltiplo escalar \alpha\mathbf{u}=(\alpha x,\alpha y,\alpha z) temos
\alpha x - 6(\alpha y) + 4(\alpha z) = \alpha\,(x - 6y + 4z) = \alpha\cdot 0 = 0.
Portanto \alpha\mathbf{u}\in F, mostrando que F é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 5

Como F contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação escalar, concluímos que F é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

Resposta

F é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^3.

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