Sejam a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} números reais. Mostre que o conjunto H de todos os vetores v= \left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right) \in \mathbb{R}^{4} tais que
a_{1} x_{1}+a_{2} x_{2}+a_{3} x_{3}+a_{4} x_{4}=0

Passo 1

O enunciado define o conjunto
H = \{\,v=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in\mathbb{R}^{4}\mid a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+a_{4}x_{4}=0\}
e pede para mostrarmos que ele é um subespaço vetorial de \mathbb{R}^{4}. Para isso, vamos usar a definição de subespaço: precisamos verificar que
  1. H\neq\emptyset,
  2. se u,v\in H então u+v\in H,
  3. se v\in H e \lambda\in\mathbb{R} então \lambda v\in H.

Passo 2

Verificamos que o vetor nulo 0=(0,0,0,0) está em H. De fato, ao inserir x_{1}=x_{2}=x_{3}=x_{4}=0 na equação
a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+a_{3}x_{3}+a_{4}x_{4}=0
obtemos 0=0. Logo, H não é vazio.

Passo 3

Agora tomemos dois vetores quaisquer u=(u_{1},u_{2},u_{3},u_{4}) e v=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4}) em H. Por definição,
a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+a_{4}u_{4}=0 \quad\text{e}\quad a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+a_{4}v_{4}=0.
A soma u+v=(u_{1}+v_{1},\dots,u_{4}+v_{4}) satisfaz
a_{1}(u_{1}+v_{1})+\cdots+a_{4}(u_{4}+v_{4}) =(a_{1}u_{1}+\cdots+a_{4}u_{4}) +(a_{1}v_{1}+\cdots+a_{4}v_{4}) =0+0=0.
Portanto u+v\in H, o que prova a fechadura sob adição.

Passo 4

Se v=(v_{1},v_{2},v_{3},v_{4})\in H e \lambda\in\mathbb{R}, então
a_{1}v_{1}+\cdots+a_{4}v_{4}=0.
Multiplicando por \lambda, ficamos com
a_{1}(\lambda v_{1})+\cdots+a_{4}(\lambda v_{4}) =\lambda\,(a_{1}v_{1}+\cdots+a_{4}v_{4}) =\lambda\cdot 0=0,
logo \lambda v\in H, o que mostra a fechadura sob multiplicação escalar.

Resposta

O conjunto H satisfaz os três requisitos de subespaço vetorial em \mathbb{R}^{4}: contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Portanto, H é um subespaço de \mathbb{R}^{4}.

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