Sejam F_{1}, F_{2}, F_{3} subespaços vetoriais de um espaço vetorial E. Mostre que F_{1} \cap F_{2} \cap F_{3} é ainda um subespaço vetorial de E.

Passo 1

O enunciado diz que F_{1},F_{2},F_{3} são subespaços de um espaço vetorial E. Queremos mostrar que
F = F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3}
também é subespaço de E.
Para isso, basta verificar que F satisfaz as três propriedades de subespaço:
  1. contém o vetor zero;
  2. é fechado sob soma;
  3. é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Como cada F_{i} é subespaço, sabemos que \mathbf{0}\in F_{i} para i=1,2,3. Logo
\mathbf{0}\in F_{1} ,\quad \mathbf{0}\in F_{2} ,\quad \mathbf{0}\in F_{3}
implica
\mathbf{0}\in F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3}=F.

Passo 3

Sejam \mathbf{u},\mathbf{v}\in F. Então \mathbf{u},\mathbf{v}\in F_{i} para cada i=1,2,3.
Como cada F_{i} é subespaço, temos
\mathbf{u}+\mathbf{v}\in F_{i} \quad\text{para }i=1,2,3.
Logo
\mathbf{u}+\mathbf{v}\in F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3}=F,
mostrando que F é fechado sob soma.

Passo 4

Seja \alpha escalar e \mathbf{u}\in F. Então \mathbf{u}\in F_{i} para cada i. Como cada F_{i} é subespaço,
\alpha\,\mathbf{u}\in F_{i} \quad\text{para }i=1,2,3.
Portanto
\alpha\,\mathbf{u}\in F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3}=F,
mostrando que F é fechado sob multiplicação escalar.

Resposta

F_{1}\cap F_{2}\cap F_{3} é subespaço vetorial de E.

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