Mostre que o conjunto dos múltiplos de
, é enumerável.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: o exercício pede para mostrar que o conjunto dos múltiplos de 5, que é $ S = {0, 5, -5, 10, -10, 15, -15, ···} $, é enumerável. Isso está relacionado ao tópico de conjuntos enumeráveis na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como estabelecer uma correspondência entre os elementos de $ S $ e os números naturais.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um conjunto enumerável. Um conjunto é chamado de enumerável se conseguimos listar seus elementos de forma que cada elemento corresponda a um número natural único (1, 2, 3, …). Isso significa que podemos contar os elementos do conjunto, mesmo que tenham infinitos.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o conjunto $ S = {0, 5, -5, 10, -10, 15, -15, ···} $. Podemos ver que os elementos de $ S $ são múltiplos de 5, tanto positivos quanto negativos, incluindo o zero.
Passo 4
Para mostrar que $ S $ é enumerável, precisamos estabelecer uma maneira de associar cada elemento de $ S $ a um número natural único. Vamos fazer isso criando uma sequência que liste todos os múltiplos de 5 de maneira organizada.
Passo 5
Vamos construir uma sequência onde listamos os múltiplos de 5 da seguinte forma:
- 0 corresponde ao número natural 1
- 5 corresponde ao número natural 2
- -5 corresponde ao número natural 3
- 10 corresponde ao número natural 4
- -10 corresponde ao número natural 5
- E assim por diante.
Passo 6
Dessa forma, cada múltiplo de 5 em $ S $ tem um número natural correspondente. Por exemplo, o $ n $-ésimo elemento da sequência será $ 5 \times \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $ se $ n $ for par, e $ -5 \times \left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor $ se $ n $ for ímpar, além de 0 para $ n = 1 $.
Passo 7
Como conseguimos listar todos os elementos de $ S $ sem deixar nenhum de fora e cada um tem um número natural único associado, isso confirma que $ S $ é um conjunto enumerável.
Resposta
Portanto, o conjunto dos múltiplos de 5, $ S = {0, 5, -5, 10, -10, 15, -15, ···} $, é enumerável.