Mostre que o conjunto dos números ímpares maiores que
, é enumerável.
Passo 1
Vamos mostrar que o conjunto dos números ímpares maiores que 13, ou seja, S = {15, 17, 19, …}, é enumerável. Isso está relacionado com a teoria de conjuntos e a ideia de que certos conjuntos podem ser listados de forma que cada elemento corresponda a um número natural. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um conjunto ser enumerável e como podemos criar uma correspondência entre os números naturais e os elementos de S.
Passo 2
Primeiro, o que significa um conjunto ser enumerável? Basicamente, um conjunto é enumerável se conseguimos listar seus elementos em uma sequência infinita onde cada elemento está associado a exatamente um número natural (1, 2, 3, …). Isso significa que podemos “contar” os elementos do conjunto, mesmo que sejam infinitos.
Passo 3
Agora, vamos aplicar isso ao nosso conjunto S = {15, 17, 19, …}. Precisamos encontrar uma forma de associar cada número natural a um número ímpar maior que 13 desse conjunto. Uma maneira simples de fazer isso é observar que cada número ímpar pode ser obtido adicionando múltiplos de 2 a 13.
Passo 4
Vamos definir uma função f(n) que pega um número natural n e retorna o n-ésimo número ímpar maior que 13. Podemos fazer isso usando a fórmula:
Por exemplo:
- Para n = 1: f(1) = 13 + 2(1) = 15
- Para n = 2: f(2) = 13 + 2(2) = 17
- E assim por diante.
Passo 5
Agora, vamos verificar se essa função f(n) realmente cria uma correspondência um a um entre os números naturais e os elementos de S.
- Injetora: Cada n gera um resultado único, pois diferentes valores de n produzem diferentes números ímpares.
- Sobrejetora: Todo número ímpar maior que 13 está incluído no conjunto S e é gerado por algum n natural.
Como a função f(n) é bijetora (injetora e sobrejetora), estabelecemos uma correspondência perfeita entre os números naturais e os elementos de S.
Resposta
Assim, concluímos que o conjunto S = {15, 17, 19, …} é enumerável, já que conseguimos listar todos os seus elementos de forma que cada um corresponde a um número natural único.