Verificar se
é gerado pelos vetores:
Passo 1
O enunciado define o subespaço
e pergunta se ele é gerado pelos vetores
O que precisamos verificar é se
Para isso, mostraremos que (i)
e (ii) um vetor genérico de
pode ser escrito como combinação linear de
e
.
Passo 2
Verificamos que ambos os vetores têm segunda componente zero, logo pertencem a
:
Isto implica
Passo 3
Seja agora um vetor qualquer
Queremos
tais que
Escrevendo componentes, formamos o sistema
Passo 4
Somando as duas equações do sistema obtemos
Substituindo em
-2alpha + beta = x1 , vem
Como há sempre solução para qualquer
(x1,0,x3) , concluímos
Logo
Passo 5
Da inclusão mútua temos
portanto
u1 e
u2 geram
W .
Resposta
Sim.
W é exatamente o subespaço gerado por
u1 e
u2 , ou seja,