Verificar se W=(x1, x2, x3) in R^3 mid x2=0 é gerado pelos vetores:
u1=(-2,0,3) e u2=(1,0,-1)

Passo 1

O enunciado define o subespaço
W = (x1,x2,x3)inR^3mid x2=0
e pergunta se ele é gerado pelos vetores
u1=(-2,0,3), u2=(1,0,-1)
O que precisamos verificar é se
Spanu1,u2=W
Para isso, mostraremos que (i) u1,u2in W e (ii) um vetor genérico de W pode ser escrito como combinação linear de u1 e u2.

Passo 2

Verificamos que ambos os vetores têm segunda componente zero, logo pertencem a W:
u1 = (-2,;0,;3)in W, u2 = (1,;0,;-1)in W
Isto implica
Spanu1,u2subseteq W

Passo 3

Seja agora um vetor qualquer
w=(x1,0,x3)in W
Queremos alpha,betainR tais que
alpha,u1 + beta,u2 = w
Escrevendo componentes, formamos o sistema
-2alpha + beta = x1, 3alpha - beta = x3

Passo 4

Somando as duas equações do sistema obtemos
(-2alpha + beta) + (3alpha - beta) = x1 + x3 Longrightarrow alpha = x1 + x3
Substituindo em -2alpha + beta = x1, vem
beta = x1 + 2alpha = x1 + 2(x1+x3) = 3x1 + 2x3
Como há sempre solução para qualquer (x1,0,x3), concluímos
w = alpha,u1 + beta,u2in Spanu1,u2
Logo
Wsubseteq Spanu1,u2

Passo 5

Da inclusão mútua temos
Spanu1,u2 = W,
portanto u1 e u2 geram W.

Resposta

Sim. W é exatamente o subespaço gerado por u1 e u2, ou seja,
W = Span,u1,u2

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