Mostre que o conjunto Z[raiz2]:=a+b raiz2: a, b in Z não é um corpo, com as operações usuais de adição e multiplicação de números reais.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
Z[raiz2]=a+braiz2:a,binZ
não é um corpo quando equipamos esse conjunto com as operações usuais de R.
Conteúdo: definição de corpo (anel com unidade em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo) e como provar que algo não é corpo exibindo um elemento não-invertível.

Passo 2

Observação: Z[raiz2] é subanel de R contendo 1, logo tem identidade multiplicativa. Para falhar em ser corpo basta achar xinZ[raiz2], xneq0, que não admite inverso também em Z[raiz2].

Passo 3

Escolhemos x=2. Se 2 tivesse inverso em Z[raiz2], existiriam inteiros a,b tais que
(a+braiz2)cdot2 = 1
Isso implica
2a + 2braiz2 = 1

Passo 4

Na igualdade
2a + 2braiz2 = 1
as partes “racionais” e “irracionais” devem coincidir, ou seja,
2a = 1 e 2b = 0
Daí b=0 e 2a=1, o que não tem solução em ainZ. Logo 2 não admite inverso em Z[raiz2].

Resposta

Como existe o elemento não-nulo 2inZ[raiz2] sem inverso, concluímos que Z[raiz2] não é corpo.

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