Mostre que o conjunto
não é um corpo, com as operações usuais de adição e multiplicação de números reais.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
não é um corpo quando equipamos esse conjunto com as operações usuais de .
Conteúdo: definição de corpo (anel com unidade em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo) e como provar que algo não é corpo exibindo um elemento não-invertível.
não é um corpo quando equipamos esse conjunto com as operações usuais de
Conteúdo: definição de corpo (anel com unidade em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo) e como provar que algo não é corpo exibindo um elemento não-invertível.
Passo 2
Observação:
é subanel de
contendo
, logo tem identidade multiplicativa. Para falhar em ser corpo basta achar
,
, que não admite inverso também em
.
Passo 3
Escolhemos
. Se
tivesse inverso em
, existiriam inteiros
tais que
Isso implica
Passo 4
Na igualdade
as partes “racionais” e “irracionais” devem coincidir, ou seja,
Daí
e
, o que não tem solução em
. Logo
não admite inverso em
.
Resposta
Como existe o elemento não-nulo
sem inverso, concluímos que
não é corpo.