Mostre que se K é um corpo então para todo a in K tem-se a cdot 0=0.

Passo 1

O que queremos provar é que, em todo corpo K, dado qualquer ainK, vale
acdot 0 = 0
Para isso usaremos as propriedades do elemento neutro aditivo (isto é, 0+0=0), a distributividade do produto em relação à soma e a existência de inverso aditivo.

Passo 2

Como 0 é o elemento neutro aditivo, temos
0 = 0 + 0
Multiplicando ambos os lados por a, obtemos
acdot 0 = acdot(0+0)

Passo 3

Pela distributividade do produto em relação à soma:
acdot(0+0) = acdot 0 + acdot 0
Logo
acdot 0 = acdot 0 + acdot 0

Passo 4

Agora, some o inverso aditivo de acdot 0 em ambos os lados. Seja -,acdot 0 o inverso de acdot 0. Então
(acdot 0) + l(-,acdot 0r) = l(acdot 0 + acdot 0r) + l(-,acdot 0r)
No lado esquerdo fica 0. No direito, por associatividade e definição de inverso,
acdot 0 + l(acdot 0 + (-,acdot 0)r) = acdot 0 + 0 = acdot 0
Logo 0 = acdot 0.

Resposta

acdot 0 = 0

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