Mostre que se K é um corpo, então K é um espaço vetorial sobre K com as mesmas operações de soma e produto definidas em K.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se K é um corpo, então podemos considerar K como um espaço vetorial sobre si mesmo, usando como “vetores” os elementos de K, a soma vetorial igual à soma em K e a multiplicação por escalar igual ao produto em K.
O conteúdo que vamos usar é a definição de espaço vetorial: um conjunto V sobre um corpo K com operações
+:Vtimes Vto V
e
cdot:Ktimes Vto V
tais que satisfazem os seguintes axiomas:
  1. V é grupo abeliano sob + (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso).
  2. Fechamento de Ktimes V em V.
  3. Distributividade do escalar sobre soma de vetores: alpha(u+v)=alpha u+alpha v.
  4. Distributividade da soma de escalares sobre vetor: (alpha+beta)v=alpha v+beta v.
  5. Compatibilidade com produto de escalares: (alphabeta)v=alpha(beta v).
  6. Identidade escalar: 1cdot v=v.
    Vamos verificar cada um desses itens usando os axiomas de corpo que K já satisfaz.

Passo 2

Verificamos que K é grupo abeliano sob a soma usual:
  • Fechamento: se u,vinK então u+vinK (axioma de corpo).
  • Associatividade: (u+v)+w=u+(v+w).
  • Comutatividade: u+v=v+u.
  • Neutro aditivo: existe 0inK tal que u+0= u.
  • Inverso aditivo: para cada u existe -u em K com u+(-u)=0.
    Portanto l(K,+r) é um grupo abeliano, cumprindo os axiomas (1)–(5).

Passo 3

Agora checamos as propriedades de multiplicação por escalar (que aqui é o produto em K):
  • Fechamento: se alphainK e vinK, então alphacdot vinK (fechamento do produto no corpo).
  • Distributividade sobre soma de vetores: para alphainK e u,vinK,
alpha,(u+v) =alpha u + alpha v
vem da distributividade do corpo.
  • Distributividade sobre soma de escalares: para alpha,betainK e vinK,
(alpha+beta),v =alpha v + beta v
também é distributividade no corpo.

Passo 4

Faltam os axiomas de compatibilidade de escalares e identidade:
  • Compatibilidade com produto de escalares: para alpha,betainK e vinK,
(alphabeta),v =alpha,(beta v)
é exatamente a associatividade do produto em K.
  • Identidade escalar: como 1inK é o elemento neutro do produto, para todo vinK
1cdot v = v

Resposta

Portanto todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, e concluímos que K é de fato um espaço vetorial sobre o corpo K com as operações usuais de soma e produto.

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