Mostre que se
é um corpo, então
é um espaço vetorial sobre
com as mesmas operações de soma e produto definidas em
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se
é um corpo, então podemos considerar
como um espaço vetorial sobre si mesmo, usando como “vetores” os elementos de
, a soma vetorial igual à soma em
e a multiplicação por escalar igual ao produto em
.
O conteúdo que vamos usar é a definição de espaço vetorial: um conjunto sobre um corpo
com operações
e
tais que satisfazem os seguintes axiomas:
O conteúdo que vamos usar é a definição de espaço vetorial: um conjunto
e
tais que satisfazem os seguintes axiomas:
-
é grupo abeliano sob (fechamento, associatividade, comutatividade, elemento neutro e inverso). - Fechamento de
em . - Distributividade do escalar sobre soma de vetores:
. - Distributividade da soma de escalares sobre vetor:
. - Compatibilidade com produto de escalares:
. - Identidade escalar:
.
Vamos verificar cada um desses itens usando os axiomas de corpo quejá satisfaz.
Passo 2
Verificamos que
é grupo abeliano sob a soma usual:
- Fechamento: se
então (axioma de corpo). - Associatividade:
. - Comutatividade:
. - Neutro aditivo: existe
tal que . - Inverso aditivo: para cada
existe em com .
Portantoé um grupo abeliano, cumprindo os axiomas (1)–(5).
Passo 3
Agora checamos as propriedades de multiplicação por escalar (que aqui é o produto em
):
- Fechamento: se
e , então (fechamento do produto no corpo). - Distributividade sobre soma de vetores: para
e ,
vem da distributividade do corpo.
- Distributividade sobre soma de escalares: para
e ,
também é distributividade no corpo.
Passo 4
Faltam os axiomas de compatibilidade de escalares e identidade:
- Compatibilidade com produto de escalares: para
e ,
é exatamente a associatividade do produto em
.
- Identidade escalar: como
é o elemento neutro do produto, para todo
Resposta
Portanto todos os axiomas de espaço vetorial são satisfeitos, e concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre o corpo
com as operações usuais de soma e produto.