Mostre que se
é um corpo, os elementos simétricos aditivo e multiplicativo (se existir) são únicos para cada elemento do corpo.
Passo 1
O enunciado afirma que
é um corpo, ou seja,
é um grupo abeliano com neutro
e
é um grupo abeliano com neutro
. Precisamos mostrar que, em qualquer grupo, o inverso de um elemento é único. Aplicaremos isso primeiro a
para o simétrico aditivo e depois a
para o simétrico multiplicativo.
Passo 2
Sejam
e suponha que
e
são duas soluções do tipo “simétrico aditivo” de
. Ou seja,
Para mostrar que
, somamos
a ambos os lados da primeira igualdade:
Como a soma é associativa e comutativa,
Passo 3
Seja agora
e suponha que
e
são dois inversos multiplicativos de
. Ou seja,
Para provar
, multiplicamos ambos os lados da primeira igualdade por
:
Pela associatividade e comutatividade do produto,
Mas também podemos reescrever
logo
.
Resposta
Para cada
, o simétrico aditivo de
é único. Para cada
, o simétrico multiplicativo de
(inverso multiplicativo) é igualmente único.