Mostre que se K é um corpo, os elementos simétricos aditivo e multiplicativo (se existir) são únicos para cada elemento do corpo.

Passo 1

O enunciado afirma que K é um corpo, ou seja, (K,+) é um grupo abeliano com neutro ,0 e (Ksetminus0,cdot) é um grupo abeliano com neutro ,1. Precisamos mostrar que, em qualquer grupo, o inverso de um elemento é único. Aplicaremos isso primeiro a (K,+) para o simétrico aditivo e depois a (Ksetminus0,cdot) para o simétrico multiplicativo.

Passo 2

Sejam ainK e suponha que b e b' são duas soluções do tipo “simétrico aditivo” de a. Ou seja,
a + b = 0 e a + b' = 0
Para mostrar que b = b', somamos b' a ambos os lados da primeira igualdade:
b' + (a + b) = b' + 0
Como a soma é associativa e comutativa,
(b' + a) + b = b' Longrightarrow (a + b') + b = b' Longrightarrow 0 + b = b' Longrightarrow b = b'

Passo 3

Seja agora ainKsetminus0 e suponha que c e c' são dois inversos multiplicativos de a. Ou seja,
acdot c = 1 e acdot c' = 1
Para provar c = c', multiplicamos ambos os lados da primeira igualdade por c':
(c'cdot a)cdot c = c'cdot 1
Pela associatividade e comutatividade do produto,
c'cdot (acdot c) = c' Longrightarrow c'cdot 1 = c' Longrightarrow c' = c'
Mas também podemos reescrever
(c'cdot a)cdot c = (acdot c')cdot c = 1cdot c = c,
logo c = c'.

Resposta

Para cada ainK, o simétrico aditivo de a é único. Para cada ainKsetminus0, o simétrico multiplicativo de a (inverso multiplicativo) é igualmente único.

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