Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de P3(R) :
todos os polinômios da forma a0+a1 chi, a0 e a1 reais quaisquer.

Passo 1

Resumo do exercício: a gente precisa verificar se o subconjunto de polinômios de P3(R) que têm a forma a0 + a1chi, com a0,a1inR, é um subespaço. O conteúdo é espaços vetoriais (polinômios de grau até 3) e subespaços. Pra resolver, vamos usar a definição de subespaço: conter o vetor zero, estar fechado sob adição e sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificação do polinômio zero: basta ver que, tomando a0=0 e a1=0, a gente obtém o polinômio nulo
0 + 0chi = 0,
que pertence ao conjunto. Então a primeira condição (conter o zero) está ok.

Passo 3

Fechamento sob adição: considere
p(chi) = a0 + a1chi
e
q(chi) = b0 + b1chi
Somando, dá
p(chi) + q(chi) = (a0 + b0) + (a1 + b1)chi,
que é da forma c0 + c1chi com c0=a0+b0 e c1=a1+b1. Logo, fechamento em adição ok.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar: pegue um escalar lambda in R e
p(chi) = a0 + a1chi
Então
lambda p(chi) = (lambda a0) + (lambda a1)chi,
que também tem a forma c0 + c1chi com c0=lambda a0 e c1=lambda a1. Fechamento escalar ok.

Passo 5

Como as três condições (zero, adição e multiplicação escalar) estão satisfeitas, o conjunto passou no teste de subespaço.

Resposta

É um subespaço de P3(R).

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