Verifique quais dos seguintes subconjuntos são subespaços de
:
todos os polinômios da forma
e
reais quaisquer.
todos os polinômios da forma
Passo 1
Resumo do exercício: a gente precisa verificar se o subconjunto de polinômios de
que têm a forma
, com
, é um subespaço. O conteúdo é espaços vetoriais (polinômios de grau até 3) e subespaços. Pra resolver, vamos usar a definição de subespaço: conter o vetor zero, estar fechado sob adição e sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificação do polinômio zero: basta ver que, tomando
e
, a gente obtém o polinômio nulo
que pertence ao conjunto. Então a primeira condição (conter o zero) está ok.
Passo 3
Fechamento sob adição: considere
e
Somando, dá
que é da forma
com
e
. Logo, fechamento em adição ok.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar: pegue um escalar
e
Então
que também tem a forma
com
e
. Fechamento escalar ok.
Passo 5
Como as três condições (zero, adição e multiplicação escalar) estão satisfeitas, o conjunto passou no teste de subespaço.
Resposta
É um subespaço de
.