Prove que o conjunto das matrizes quadradas de ordem n Mn(R), munido da operação de multiplicação usual de matrizes não constitui um grupo.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto das matrizes quadradas de ordem n, Mn(R), com a multiplicação usual forma um grupo.
Para isso lembramos que um grupo é um conjunto G munido de uma operação * que satisfaz quatro axiomas:
1. Fechamento: para todo a,b in G, tem-se a * b in G.
2. Associatividade: para todo a,b,c in G, (a * b) * c = a * (b * c).
3. Elemento neutro: existe e in G tal que e * a = a * e = a para todo a in G.
4. Inversos: para cada a in G existe a^-1 in G tal que a * a^-1 = a^-1 * a = e.
Vamos verificar esses axiomas para l(Mn(R), timesr).

Passo 2

Verificamos os três primeiros axiomas:
– Fechamento: se A,B in Mn(R), então a matriz produto AB também é uma matriz n times n com entradas em R, logo AB in Mn(R).
– Associatividade: a multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, para A,B,C in Mn(R) vale
(AB)C = A(BC)
– Elemento neutro: a matriz identidade In (com 1's na diagonal e 0's fora dela) satisfaz
InA = AIn = A
para toda A in Mn(R).

Passo 3

Falta o axioma dos inversos. Em geral, nem toda matriz em Mn(R) é invertível. Um exemplo simples é a matriz nula
O = 0 & cdots & 0 vdots & ddots & vdots 0 & cdots & 0
Suponha, por contradição, que exista Xin Mn(R) tal que
O ,X = In
Mas O,X = O (qualquer produto com a matriz nula é nulo), de modo que seria O = In, o que é absurdo. Logo, O não possui inversa em Mn(R).

Resposta

O conjunto l(Mn(R),timesr) não é grupo porque nem todo elemento (por exemplo, a matriz nula) tem inversa.

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