Prove que o conjunto das matrizes quadradas de ordem , munido da operação de multiplicação usual de matrizes não constitui um grupo.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto das matrizes quadradas de ordem , , com a multiplicação usual forma um grupo.
Para isso lembramos que um grupo é um conjunto munido de uma operação que satisfaz quatro axiomas: . Fechamento: para todo , tem-se . . Associatividade: para todo , . . Elemento neutro: existe tal que para todo . . Inversos: para cada existe tal que .
Vamos verificar esses axiomas para .
Passo 2
Verificamos os três primeiros axiomas:
– Fechamento: se , então a matriz produto também é uma matriz com entradas em , logo .
– Associatividade: a multiplicação de matrizes é associativa, ou seja, para vale
– Elemento neutro: a matriz identidade (com 's na diagonal e 's fora dela) satisfaz
para toda .
Passo 3
Falta o axioma dos inversos. Em geral, nem toda matriz em é invertível. Um exemplo simples é a matriz nula
Suponha, por contradição, que exista Xin Mn(R) tal que
O ,X = In
Mas O,X = O (qualquer produto com a matriz nula é nulo), de modo que seria O = In, o que é absurdo. Logo, O não possui inversa em Mn(R).
Resposta
O conjunto l(Mn(R),timesr) não é grupo porque nem todo elemento (por exemplo, a matriz nula) tem inversa.