Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais.
(a) O conjunto dos vetores de \mathbb{R}^{n} cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.

Passo 1

O enunciado nos dá o conjunto
V = \{\,x=(x_1,\dots,x_n)\in \mathbb{R}^n \mid x_i = a + (i-1)\,d \text{ para alguns }a,d\in\mathbb{R}\},
isto é, as coordenadas de x formam uma progressão aritmética de termo inicial a e razão d. Para mostrar que V é subespaço vetorial de \mathbb{R}^n, precisamos verificar três coisas:
  1. V não é vazio (contém o vetor zero).
  2. V é fechado sob adição.
  3. V é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que o vetor zero (0,0,\dots,0) está em V. Basta escolher a=0 e d=0. Então para todo i
0 = a + (i-1)\,d = 0 + (i-1)\cdot 0,
logo (0,\dots,0)\in V.

Passo 3

Fechamento sob adição: tomemos
u=(u_1,\dots,u_n),\;v=(v_1,\dots,v_n)\in V.
Existem a,d tais que u_i = a + (i-1)d e existem a',d' tais que v_i = a' + (i-1)d'. Então a soma u+v tem coordenada
(u+v)_i = u_i + v_i = \bigl(a + (i-1)d\bigr) + \bigl(a' + (i-1)d'\bigr) = (a+a') + (i-1)(d+d').
Portanto u+v também é uma progressão aritmética de termo inicial a+a' e razão d+d', ou seja, u+v\in V.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação por escalar: seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(u_1,\dots,u_n)\in V com u_i = a + (i-1)d. Então
(\lambda u)_i = \lambda\,u_i = \lambda\bigl(a + (i-1)d\bigr) = (\lambda a) + (i-1)(\lambda d),
que é de novo uma progressão aritmética (termo inicial \lambda a, razão \lambda d). Logo \lambda u\in V.

Resposta

Como V contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que V é subespaço vetorial de \mathbb{R}^n.

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