Mostre que os conjuntos abaixo são subespaços vetoriais.
(a) O conjunto dos vetores de
cujas coordenadas formam uma progressão aritmética.
(a) O conjunto dos vetores de
Passo 1
O enunciado nos dá o conjunto
isto é, as coordenadas de
formam uma progressão aritmética de termo inicial
e razão
. Para mostrar que
é subespaço vetorial de
, precisamos verificar três coisas:
-
não é vazio (contém o vetor zero). -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que o vetor zero
está em
. Basta escolher
e
. Então para todo
logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição: tomemos
Existem
tais que
e existem
tais que
. Então a soma
tem coordenada
Portanto
também é uma progressão aritmética de termo inicial
e razão
, ou seja,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação por escalar: seja
e
com
. Então
que é de novo uma progressão aritmética (termo inicial
, razão
). Logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.